1、3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生学 习 目 标核 心 素 养1通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义(重点)2会求一些简单的几何概型的概率(重点、难点)3会用随机模拟的方法近似计算事件的概率(重点)1通过求简单几何概型的概率，培养数学运算素养2借助面积、体积等问题，养成直观想象素养.1几何概型的概念(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型(2)几何概型的特点试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个每个基本事件出现的可能性相等2几何概型的概率公式：P(A)3均
2、匀随机数(1)均匀随机数的概念在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数(2)均匀随机数的产生计算器上产生0,1的均匀随机数的函数是RAND函数Excel软件产生0,1区间上均匀随机数的函数为“rand()”(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果计算机模拟的方法：用Excel软件产生0,1区间上均匀随机数进行模拟(注意操作步骤)(4)a，b上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生0,1上的均匀随机数xRAND，然后利用伸缩和平移交换，xx
3、1*(b-a)+a就可以得到a，b内的均匀随机数，试验的结果是a，b上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的1下列概率模型中，几何概型的个数为()从区间10,10上任取一个数，求取到的数在0,1内的概率；从区间10,10上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10,10上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率A1B2C3D4C中的概率模型是几何概型，因为区间10,10上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；中的概率模型不是几何概型，因为区间10,10上的整数只有21个，是有限的；中的概率模型是几何
4、概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同2在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A. B. C. D.B区间2,3的区间长度为5，在上面随机取一数X，使X1，即2X1.其区间长度为3，所以概率为.3.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为()A. B.C. D.C试验发生的范围是整个桌面，非阴影部分面积占桌面的，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为.4如图AB是圆O的直径，OCAB，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_设圆的半径为R，则圆的面积为SR2，阴影的面积S阴2RRR
5、2，故所求概率P.与长度、角度有关的几何概型探究问题1几何概型与古典概型的区别是什么？提示几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的2解决几何概型问题概率的关键是什么？提示确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关3“P(A)0A是不可能事件”，“P(A)1A是必然事件”，这两种说法是否成立？提示(1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)1肯定成立(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)0，则A为不可能事件；若事件A的概率P(A)1，则A为必然事件(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)0，则A不一定是不可能
6、事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)1，则A也不一定是必然事件【例1】在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？解点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度在AB上截取ACAC，当点M位于图中的线段AC上(不包括点C)时，AMAC，故线段AC即为构成事件A的区域长度于是P(AMAC)P(AMAC，故线段CB即为构成事件的区域长度P(AMAC)P(AMAC)1.求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有
7、关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率.与面积、体积有关的几何概型【例2】(1)如图所示，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()Ap1p2Bp1p3Cp2p3Dp1p2p3(2)在一个球内有一棱长为1的内接正方体，
8、一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.B. C.D.思路点拨：(1)根据几何图形特征分别计算区域、的面积应用面积型几何概型定义判断(2)所求概率涉及到体积问题应用与体积有关的几何概型公式求解(1)A(2)D(1)法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域的面积即ABC的面积，为S1bc，区域的面积S2(c2b2a2)bcbc，所以S1S2，由几何概型的知识知p1p2，故选A.法二：不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S322，区域的面积S212(2)2.根据几何概型的概率计算公式
9、，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故选A.(2)由题意可知这是一个几何概型问题，棱长为1的正方体的体积V11，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R，球的体积V2，则此点落在正方体内部的概率P.解与面积(体积)相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积(体积)有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积(体积)；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率.1(1)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.(2)有一个底面圆
10、的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_(1)B(2)(1)设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A).(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱1222，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球13.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：，故点P到点O的距离大于1的概率为：1.均匀随机数与随机模拟方法【例3】利用随机模拟方法计算由y1和yx2所围成的图形的面积解 以直线x1，x1，y0，y1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组01区间的均匀随机数，a1RAND，bR
11、AND；(2)进行平移和伸缩变换，a2(a10.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积例如做1 000次试验，即N1 000，模拟得到N1698，所以P，即阴影面积S矩形面积21.396.用随机模拟方法估计几何概型的步骤确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率.2现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率解(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机
12、数a1，b1(共N组)；(2)经过平移和伸缩变换，a2(a10.5)，b2(b10.5)；(3)数出满足不等式b4的数组数N1.所求概率P.可以发现，试验次数越多，概率P越接近.1几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型2几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题3注意理解几何概型与古典概型的区别4理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A).1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)几何概型的基本事件有无数多个()(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关()(3)随机数只能用计算器或计算机产生()(4)x是0,1上
13、的均匀随机数，则利用变量代换y(ba)xa可得a，b上的均匀随机数()答案(1)(2)(3)(4)2已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.B.C. D.A试验所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A).3.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在xOT内的概率为_记“射线OA落在xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60，所有基本事件对应的区域最大角度是360，所以由几何概型的概率公式得P(A).4在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率解如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个设事件A为“所作正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm与9 cm之间”取AC6 cm，CD3 cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生，所以P(A).