1、课题：2.1.1 向量的物理背景与概念一、 教学内容分析 以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积的运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对向量数量积的符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修4（A版）第二章第4节第一课时，它是平面向量数量积的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间的最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度又是重要的数量特征。向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。二、 学生学习情况分析本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，但是学生作为初学者不清楚向量数量
2、积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用数量积运算来反映向量数量积的长度和两个向量夹角的关系解决问题是学生学习的重点也是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的数量积，自然过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务、激发学生的学习兴趣和求知欲望。三、 设计思想转变学生的学习方式、激发学生的积极性，让学生乐于参与到探究性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法、培养学生的情感、价值观，这是新课程数学教学的三维目标。为此结合本节教学内容，教学中应
3、注重过程与方法、注重引导学生去发现问题、分析问题、解决问题，在师生互动、生生互动、交流中渗透情感态度与价值观。四、 教学目标（一） 知识目标：1、了解平面向量数量积的物理背景、理解数量积的含义。2、体会平面向量数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质并能运用性质进行相关的运算和判断。3、体会数学类比思想和方法，进一步培养学生抽象概括能力。（二）能力目标：通过对平面向量数量积性质的探究培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力使学生的思维得到训练。（三） 情感目标：通过本节课的学习、激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。体会各学科之间是不可分的，培养学生思考问题的认真
4、、严谨的学习态度。五、 教学重点：平面向量数量积的定义、几何意义及其性质。六、 教学难点：平面向量数量积的性质及运算。 七、 教学方法：启发探究、讲练结合法八、 教学准备:多媒体、三角板、彩色粉笔九、 课型：新授十、 教学过程：（活动一）情景引入：1、 请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么量？（向量的加法、减法及数乘运算，运算的结果是向量）2、 请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？（物理模型-数学概念-性质-应用）3、 本节课我们仍按照这种研究思路来研究向量的另一种运算。（导入新课：平面向量数量积的物理背景及含义
5、）【设计意图】1、明确新旧知识的联系性，2、明确研究平面向量数量积的途径。（活动二）探究数量积的概念1、 观看：大力士拉车视频并抽象为外力对物体做功模型。 F S（1）如上图：一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= （2）这个公式有什么特点？完成下列填空。1、 W（功） 是 量。 2、F（力）是 量3、 S（位移）是 量 4、 是 （3） 你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？（功是力与位移大小及其夹角余弦值的乘积）（4） 如果将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？（两向量的大小及其夹角余弦值的乘积）2、 明晰数量积的概念（1） 数量积的概念： 已知两个非零向量
6、与，它们的夹角，我们把叫做与的数量积（内积），记作，即（其中是与的夹角）。（2） 定义说明：1、 记法中“”中间的“”不可省略，也不可用“”代替。2、 规定：零向量与任意向量的数量积为零。【设计意图】1、认识向量数量积的物理背景。2、使学生在形式上认识数量积的概念。3、从数学与物理角度创设问题情景使学生明白如何研究这种运算。（3） 探究：平面向量数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素是哪些？（数量积运算的结果是数量，影响其大小的是向量的大小与夹角的余弦值）（4） 学生讨论、并完成下表的范围的符号误区：数量积大于0，则夹角为锐角；数量积小于0 ，则夹角为钝角。【设计意图】：自
7、主研究，进一步明确夹角决定数量积的正负。（5） 研究数量积的几何意义1、 投影的概念：叫做在方向上（在方向上）的投影。2、 数量积的几何意义：数量积等于与在方向上的投影的乘积。【设计意图】：这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有更加充分的认识。（活动三）探究数量积的运算性质1、 设与都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；特别地，或。【设计意图】培养学生有特殊到一般的思维品质和创新的意识。（活动四）应用与提高例1、已知与的夹角，求。变式训练1：在等边三角形中，,求.变式训练2：已知，求与的夹角。变式训练3：已知，与的夹角，求。【设计意图】例1，老师讲解，变式
8、训练学生独立完成，通过计算巩固对定义的理解，注意向量的夹角是共起点的，并且体会到数学的数形结合思想和方程的思想。例2、与的夹角为，则在方向上的投影等于 。变式训练：在直角三角形ABC中，AC=4，求.【设计意图】巩固投影的概念，体现数形结合思想。（活动五）课堂练习1、大力士拉车视频中，沿直线方向前进20m，大力士给车的拉力为3000N，大力士如何拉车，所做的功最大？ 2、 已知的夹角，分别在下列条件在求。（1） （2） （3）【设计意图】1、加强学生的练习。2、通过观察问答对学生的学习情况有进一步的了解和把握。3、练习3加强学科间的练习，体现数学学科工具性的特点。（活动六）课堂小结1、 本节课我们学习的主要内容？2、 平面向量的数量积有哪些应用？【设计意图】通过学生讨论总结，加强概念的理解和掌握，体会整个内容的研究过程。明白学了什么以及学的内容有何作用。这对以后的学习由指导作用。（活动七）布置作业1、 课本习题2.4A组第1、2、6题。2、 拓展与提高课本探究，平面向量的数量积运算律。（学有余力的同学完成）【设计意图】通过不同层次的作业布置，使学生掌握了基本知识，也使学有余力的学生有所提高。