1、31.3概率的基本性质目标 1.了解事件的关系与运算；2.理解互斥事件、对立事件的概念；3.掌握概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简单事件的概率重点 事件的关系、运算及概率的基本性质难点 概率的基本性质的应用知识点一事件的关系与运算 填一填答一答1下列说法正确吗？(1)在掷骰子的试验中出现1点出现的点数为奇数；(2)不可能事件记作，显然C(C是任一事件)；(3)事件A也包含于事件A，即AA.提示：以上说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系2并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样例如，并事件包含三种情况：事件A发生，事件B不发生；
2、事件A不发生，事件B发生；事件A，B同时发生，即事件A，B中至少有一个发生3事件A与事件B互斥的含义是什么？提示：事件A与事件B互斥的含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生4互斥事件与对立事件的关系是怎样的？提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件知识点二概率的几个基本性质 填一填1概率的取值范围为0,12必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3概率加法公式：如果事件A与B为互斥事件，则P(AB)P(A)P(B)特例：若A与B为对立事件，则P(A)1P(B)，P(AB)1，P(AB)0.答一答5若P(A)P(B)1，事件A与事件B是否一定对立，试举例说明提示：事
3、件A与事件B不一定对立例如：抛掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)P(B)1.当出现2点时，事件A与事件B同时发生，所以事件A与事件B不互斥，显然也不对立6(1)若A，B为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)0.3.(2)甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成和棋的概率是0.5，则甲获胜的概率为0.3.解析：(1)因为A，B为互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)所以P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.(2)设“甲胜”为事件A，“和棋”为事件B，其发生的概率分别是P(A)，P(B)，则P(AB)P(A)P(B)0
4、.8，所以P(A)0.8P(B)0.80.50.3.故甲获胜的概率是0.3.类型一互斥事件与对立事件的判断 例1一位射击手进行一次射击事件A：命中的环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中的环数小于6环；事件D：命中的环数为6,7,8,9,10环判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理由(1)事件A与B.(2)事件A与C.(3)事件C与D.解(1)不是互斥事件，更不可能是对立事件理由：事件A：命中的环数大于7环，包含事件B：命中环数为10环，二者能够同时发生，即AB命中环数为10环(2)是互斥事件，但不是对立事件理由：事件A：命中的环数大于7环，与事件C：命中的环数
5、小于6环不可能同时发生，但AC命中环数为1,2,3,4,5,8,9,10环I(I为全集)(3)是互斥事件，也是对立事件理由：事件C：命中的环数小于6环，与事件D：命中的环数为6,7,8,9,10环不可能同时发生，且CD命中环数为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10环I(I为全集)互斥事件、对立事件的判断方法(1)利用基本概念互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生(2)利用集合观点设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.若事件A与B互斥，则集合AB；若事件A与B对立，则集合AB且AB. 变式训练1从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，下列事件
6、：“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”；“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”；“取出3个红球”与“取出3个白球”其中是对立事件的有(D)ABCD解析：从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”，由此可知中的两个事件都不是对立事件对于，“取出的3个球中至少有1个白球”包含“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”三种情况，故“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”是对立事件故选D.类型二事件的运算 例2掷一枚骰子，下列事件：A出现奇数
7、点，B出现偶数点，C点数小于3，D点数大于2，E点数是3的倍数求：(1)AB，BC；(2)AB，BC；(3)记为事件H的对立事件，求，C，C，.解(1)AB，BC出现2点(2)AB出现1,2,3,4,5或6点，BC出现1,2,4或6点(3)点数小于或等于2出现1或2点；CBC出现2点；CAC出现1,2,3或5点；出现1,2,4或5点进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.变式训练2一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球记事件A：“取出一个球是白球”；事件B：“取出一个球是黑球”；事
8、件C：“取出一个球是红球”；事件D：“取出一个球是白球或黑球或红球”说出AB，AB，AD，BD，CD各为什么事件解：AB表示“取出一个球为白球或黑球”AB表示“取出一个球既是白球又是黑球”AD表示“取出一个球为红球或白球或黑球”BD表示“取出一个球为黑球”CD表示“取出一个球为红球”类型三互斥事件与对立事件的概率 命题视角1：互斥事件概率加法公式的应用例3掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(AB)等于()A. B.C. D.解析P(A)，P(B)，事件A与B互斥，由互斥事件的概率加法公式得P(AB)P(A)P(B).答案B解决这类问题的关键是要抓住(
9、1)一次试验中可能出现的不同结果，由这些结果分别构成不同的事件；(2)这些事件中的任何两个事件都构成互斥事件；(3)互斥事件Am，An构成的事件A的概率P(A)P(Am)P(An)；(4)推广到由两两互斥的n个事件Ai(其中i1，2，n)构成的事件A，P(A)P(A1)P(A2)P(A3)P(An).变式训练3抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”，已知P(A)P(B)，求出现1点或2点的概率解：设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由CAB得：P(C)P(A)P(B)，出现1点或出现2点的概率是.命题视角2：对立事件概率的应用例4(1)根据统计
10、资料，甲射击一次中靶的概率是0.45，那么甲射击一次不中靶的概率为_(2)一名射手在某次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：射中10环或7环的概率；射中的环数低于7环的概率解析(1)P(甲射击一次不中靶)1P(甲射击一次中靶)10.450.55.(2)解：设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在这次射击训练中，事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为AB.所以P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.“射中
11、的环数低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环但由于这些概率都未知，故不能直接求解可考虑从反面入手“射中的环数低于7环”的反面是“射中的环数大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件转化的方法处理设“射中的环数低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”又“射中7环”，“射中8环”，“射中9环”，“射中10环”彼此互斥故P()0.210.230.250.280.97，从而P(E)1P()10.970.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.答案(1)0.55(2)见解析应用
12、对立事件解题的注意点(1)找准对立事件(2)要有应用对立事件求概率的意识，当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即“正难则反”思想的应用 变式训练4学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校1 000名在校生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生祼眼视力在0.61.0，剩下的能达到1.0及以上，问：(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少？(2)这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少？解：(1)因为事件A(视力在0.6以下)与事件B(视力在0.61.0)为互斥事件，所以
13、事件C(视力不足1.0)的概率为P(C)P(A)P(B)0.65.(2)事件D(视力达到1.0及以上)与事件C为对立事件，所以P(D)1P(C)0.35.所以该学校在校生眼睛合格的概率为0.35.1许洋说：“本周我至少做完三套练习题”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为(B)A至多做完三套练习题B至多做完二套练习题C至多做完四套练习题D至少做完四套练习题2高二某班级中抽出三名学生，设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则(A)A甲与丙互斥B任何两个均互斥C乙与丙互斥D任何两个均不互斥解析：从高二某班级中抽出三名学生，设事件甲为“
14、三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，在A中，事件甲与丙是互斥事件，故A正确；在B中，事件乙和丙有可能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，事件乙和丙有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，事件甲与丙是互斥事件，故D错误故选A.3若事件A，B互斥，P(A)3P(B)，P(AB)0.8，则P(A)0.6.解析：A，B互斥，P(AB)P(A)P(B)又P(A)3P(B)，P(AB)3P(B)P(B)4P(B)0.8.P(B)0.2，P(A)0.6.4抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数不大于4的概率为.解析：向上的点数为5或6的概率为，
15、又向上的点数不大于4的对立事件为向上的点数为5或6.所以所求概率为1.5在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；(2)小明考试及格的概率解：分别记小明的成绩“在90分以上”“在8089分”“在7079分”“在6069分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.(2)方法1：小明考试及格的概率是P(BCDE)P(B)P(C)P
16、(D)P(E)0.180.510.150.090.93.方法2：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是P(考试及格)10.070.93.本课须掌握的三大问题1互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥2互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(AB)P(A)P(B)3求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率
