1、2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1半径为1的球的体积为 2棱长都是2的三棱锥的表面积为 3已知（3，0，2），（x，0，4），若，则x 4二面角l为60，异面直线a、b分别垂直于、，则a与b所成角的大小是 5直线PA与平面ABC所成角为，则直线PA与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是 6已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，表示，则 7长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为 m8一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30，斜坡上有一道直道，它和坡脚水平
2、线成60角，沿这条直道向上行走100米后升高 米9侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF周长的最小值为 10圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是 11已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为 12如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADDD11，AB，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点点P在平面ABCD内，若直线D1P平面EFG，则线段D1P长度的最小值是 二、选择题13已知、是两个不同平面，m为内的一条直线，则“m”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充
3、分也不必要条件14下列四种说法中：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；相等的线段在直观图中仍然相等；一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥正确的个数是（）A0B1C2D315已知平面l，B，Cl，A且Al，D且Dl，则下列叙述错误的是（）A直线AD与BC是异面直线B直线CD在上的射影可能与AB平行C过AD有且只有一个平面与BC平行D过AD有且只有一个平面与BC垂直16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BED1F设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，则+的最小值（）A不存在B等于60C等于90D等于120三
4、、解答题17正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长AB2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧面积和体积18如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系Oxyz的原点，半径为1，且球O分别与x、y、z轴的正半轴交于A、B、C三点，已知球面上一点D（0，）（1）求证：CDOA；（2）求D、C两点在球O上的球面距离19如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知ACB90，AA，BCAC1，O为AB的中点求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线AC与平面ABBA所成的角的大小20在三棱锥中PABC，ABBC，ABBCkPA，点O是AC的中点，PO底面
5、ABC（1）求证：OB平面PAC；（2）当k，AB2时，求点A到平面PBC的距离；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？21如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2（）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE；（）求二面角EBCF的正弦值；（）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长参考答案一、填空题1半径为1的球的体积为解：半径为1的球的体积为：故答案为：2棱长都是2的三棱锥的表面积为解：棱长都是2的三棱锥的各个面都为等边三角形，且等边三角形的边长为
6、2，每个面的面积都是22，表面积S4故答案为：43已知（3，0，2），（x，0，4），若，则x6解：（3，0，2），（x，0，4），解得x6故答案为：64二面角l为60，异面直线a、b分别垂直于、，则a与b所成角的大小是60解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，二面角l的平面角为60，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为则60故答案为：605直线PA与平面ABC所成角为，则直线PA与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范围是解：一条直线PA与平面ABC成角为，根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直
7、线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是故答案为：6已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且，用，表示，则解：故答案为：7长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，那么长方体的对角线长为2m解：设长方体的长、宽、高分别为：a，b，c，长方体的12条棱的总长度为56m，表面积为112m2，可得4（a+b+c）56，2（ab+bc+ac）112，可得a+b+c14，所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac196，所以a2+b2+c284，所以长方体的对角线长为：2故答案为：28一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30，斜坡上有一道直
8、道，它和坡脚水平线成60角，沿这条直道向上行走100米后升高米解：如图，已知CD100米，作DH过BC的平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度，在平面DBC内，过点D作DGBC，垂足为G，连接GH，DH平面BCH，DHBC，DGBC，DGDHD，GB平面DGH，又GH平面DGH，GHBC，DGH为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则DGH30，依题意，DCG60，则米故答案为：9侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF周长的最小值为6解：如图所示：沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图（2），则AA即为截面AEF周长
9、的最小值，且AVA340120VAA中，由余弦定理可得 AA6，故答案为 610圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2r，r1；圆锥的高为：2故答案为：211已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为2解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得2（3+3+2）r，r，该圆锥内切球的表面积为4r22，故答案为：212如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADDD11，AB，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点点P在平面ABCD内，若直线D1P平面
10、EFG，则线段D1P长度的最小值是解：如图，连结D1A，AC，D1C，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，ACEF，EF平面ACD1，AC平面ACD1，EF平面ACD1，EGAD1，EG平面ACD1，AD1平面ACD1，EG平面ACD1，EFEGE，平面EFG平面ACD1，D1P平面EFG，点P在直线AC上，在ACD1中，AD1，AC2，CD12，当D1PAC时，线段D1P的长度最小，最小值为故答案为：二、选择题13已知、是两个不同平面，m为内的一条直线，则“m”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：、表示两个不同的平面，直线m，m，不一定得到
11、直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m“m”是“”的必要不充分条件故选：B14下列四种说法中：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；相等的线段在直观图中仍然相等；一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥正确的个数是（）A0B1C2D3解：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以不正确，相等的线段在直观图中不一定相等，故不正确；一个直角三角形绕其直角边中的一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆
12、锥所以不正确；故选：A15已知平面l，B，Cl，A且Al，D且Dl，则下列叙述错误的是（）A直线AD与BC是异面直线B直线CD在上的射影可能与AB平行C过AD有且只有一个平面与BC平行D过AD有且只有一个平面与BC垂直解：对于A，若直线AD与BC是共面直线，设AD与BC共面，不共线的三点B，C，D均在与内，与重合，又不共线的三点A，B，C均在与内，与重合，则与重合，与l矛盾，故直线AD与BC是异面直线，A正确；对于B，当ABl，CDl，且二面角l为锐二面角时，直线CD在上的射影与AB平行，B正确；对于C，在AD上任取一点，过该点作BC的平行线l，则由AD与l确定一个平面，该平面与BC平行，若过
13、AD另外有平面与BC平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC外的一点A有两条直线与BC平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，故C正确；对于D，只有当AD与BC异面垂直时，过AD有且只有一个平面与BC，否则，不存在过AD与BC垂直的平面，故D错误故选：D16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BED1F设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，则+的最小值（）A不存在B等于60C等于90D等于120解：在AA1上取一点M，使EMAB，连接MF，则MEF，同理可判断在MFE中，所以，所以min45，因此（+）min90故选
14、：C三、解答题17正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长AB2，若异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧面积和体积解：在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，有A1AB1B，则BB1C为异面直线A1A与B1C所成角，等于arctan，即tanBB1Ctan（arctan），得BB14，正四棱柱的高为4正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧面积S42432，体积V2241618如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系Oxyz的原点，半径为1，且球O分别与x、y、z轴的正半轴交于A、B、C三点，已知球面上一点D（0，）（1）求证：CDOA；（2）求D
15、、C两点在球O上的球面距离解：（1）由题得A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），故重心坐标为（），平面ABC的法向量为（），（0，），（1，0，0）0，即CDOA；（2）由题意，cosCOD，COD，D，C两点在球O上的球面距离为DC19如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知ACB90，AA，BCAC1，O为AB的中点求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线AC与平面ABBA所成的角的大小解：（1）直三棱柱内接于高为的圆柱中，ACB90，AA，BCAC1，O为AB的中点圆柱的半径rAB，圆柱的全面积S+3圆柱的体积为V（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴，建立
16、空间直角坐标系，A（1，0，），C（ 0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），（1，0，），（0，0，），（1，1，0），设平面ABBA的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设直线AC与平面ABBA所成的角为，则sin，直线AC与平面ABBA所成的角的大小为20在三棱锥中PABC，ABBC，ABBCkPA，点O是AC的中点，PO底面ABC（1）求证：OB平面PAC；（2）当k，AB2时，求点A到平面PBC的距离；（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？【解答】（1）证明：连接OB，因为ABBC，点O是AC的中点，所以OBAC，因为PO底面ABC，
17、OB平面ABC，所以POOB，因为ACPOO，所以OB平面PAC；（2）解：因为k，AB2，所以PA4，因为BCAB2，ABBC，所以OAOBOC，所以PO，PBPCPA4，取BC中点D，连接PD，PD，设点A到平面PBC的距离为h，因为VPABCVAPBC，所以，解得h，所以点A到平面PBC的距离为；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设PA2，则ABBC2k，因为ABBC，所以OAOBOCk，PO，PBPCPA2，P（0，0，），B（k，0，0），C（0，k），PBC的重心E（，），（k，0，），（，），因为O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心E，所以0，于是2k2（42k2）0，
18、解得k1，所以当k1时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心21如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2（）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN平面CDE；（）求二面角EBCF的正弦值；（）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长【解答】（）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，1），N（1，0，2）设为平面CDE的法向量，则，不妨令z1，可得；又，可得又直线MN平面CDE，MN平面CDE；（）解：依题意，可得，设为平面BCE的法向量，则，不妨令z1，可得设为平面BCF的法向量，则，不妨令z1，可得因此有cos，于是sin二面角EBCF的正弦值为；（）解：设线段DP的长为h，（h0，2），则点P的坐标为（0，0，h），可得，而为平面ADGE的一个法向量，故|cos|由题意，可得，解得h0，2线段DP的长为
