1、22.2用样本的数字特征估计总体的数字特征目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差；2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法；3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题重点 样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差的求解及应用难点 对样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差意义的理解知识点一众数、中位数、平均数 填一填名称定义在频率分布直方图中的估计方法众数一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数最高的矩形的中点中位数一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势在频率分布直方图中，中位数左边和
2、右边的直方图的面积相等平均数一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数，数据x1，x2，xn的平均数为平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和答一答1一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？提示：一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数2在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4次，3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为5.4.解析：3出现2次，其和为6,9出现4次，其和为36，3出现1次，其和为
3、3,5出现3次，其和为15，则这10个数据之和为63631554，则这组数据的平均数5.4.知识点二 标准差、方差 填一填1标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示(2)计算公式：s.2方差(1)定义：标准差的平方(2)计算公式：s2(x1)2(x2)2(xn)2答一答3标准差与方差的作用是什么？提示：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小(2)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时
4、，一般多采用标准差4现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这个数组的标准差是1.解析：由s2(xxx) 2，得s2100321，所以s1.类型一众数、中位数、平均数及应用 命题视角1：众数、中位数、平均数的计算例1已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数0.5，所以中位数应位于第四个小矩形内设其为x，高为0.03，所以令0.03(x70)0.2，得x76.7(分)(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小
5、矩形的面积求和即可所以平均成绩为45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.0310)85(0.02110)95(0.01610)73.65(分)，所以众数是75分，中位数约为76.7分，平均成绩为73.65分众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)众数：在频率分布直方图中，众数的估计值为最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.(3)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和.变式训练2一组数据的频率分布直方图如图所示，请你在直方图中标出这组数据的众数、中
6、位数和平均数对应的位置(用虚线标明)，并根据直方图读出其相应的估计值解：众数、中位数、平均数对应的位置如图中虚线所示(众数：右端虚线，中位数：左端虚线，平均数：左端虚线)由直方图观察可得众数为2.25，中位数为2.02，平均数为2.02.命题视角3：众数、中位数、平均数的应用例3据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 50
7、0元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法解(1)平均数是1 5001 5005912 091(元)中位数是1 500元，众数是1 500元(2)平均数是1 5001 5001 7883 288(元)中位数是1 500元，众数是1 500元(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平当数据较大时，求平均数时通常先减去某一个常数如本例中可先减一个
8、1500，而后再求较为简单，由于平均数受极端值影响很大，故有时平均数不一定能客观地反映总体情况，深刻理解平均数、众数、中位数的特点，结合实际情况灵活运用.变式训练3高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分(1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01分)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因解：(1)利用平均数计算公式得(82278021)81.13(分)(2)男同学成绩的中位数是75分，至少有14人得分不超过75分又女同学
9、成绩的中位数是80分，至少有11人得分不超过80分所以估计全班至少有25人得分低于80分(含80分)(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的成绩中两极分化现象严重，分数高的和低的相差较大类型二方差、标准差及应用 命题视角1：方差、标准差的计算例4一组数据：10,11,12,11,14,8的方差是_，标准差是_解析方法1：(10111211148)11，所以s2(1011)2(1111)2(1211)2(1111)2(1411)2(811)2(101099)，s.方法2：由于该组数据都集中在11附近，故每一个数据都减去11得到一组新数据：1,0,1,0,3，3，该组数据的方差与原数据
10、组方差相等.10，s2(1)202120232(3)2，s.答案方法2适用于每个数据都比较接近同一个数的问题，当数据又大又多时，更能体现方法2的优越性.变式训练4一组数据：3,4,6,7,10，其标准差是.解析：(346710)6，s2(36)2(46)2(66)2(76)2(106)2(940116)6.s.命题视角2：方差、标准差的实际应用例5甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定分析
11、先计算平均数和方差，再由方差大小判断质量稳定情况解(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳
12、定情况.变式训练5某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲9582888193798478乙8392809590808575试比较哪个工人的成绩较好解：甲(7879818284889395)85，乙(7580808385909295)85.s(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9385)2(9585)235.5，s(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241.甲乙，sbc BbcaCcab Dcba解析：众数c17，中位数b15，平
13、均数a14.7，即abc.故选D.3在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(D)A众数 B平均数C中位数 D标准差解析：根据标准差的性质，易知答案为D.4甲、乙两种水稻，经统计甲水稻的株高方差是2.0，乙水稻的株高标准差是1.8，可估计甲水稻比乙水稻长得整齐解析：因方差、标准差都衡量数据的波动性，2(1.8)2.5.某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如下表：成绩1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人数分布00
14、06152112330(1)求样本的平均成绩和标准差(精确到0.01分)；(2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛解：(1)(465156217128393)6，s26(46)215(56)221(66)212(76)23(86)23(96)21.5，s1.22，故样本的平均成绩为6分，标准差约为1.22分(2)在60名选手中，有123318(名)学生预赛成绩在7分或7分以上，210人中有21063(名)学生的预赛成绩在7分或7分以上，故大约有63名学生可以参加复赛本课须掌握的四大问题1利用直方图求数字特征：众数是最高的矩形的底边的中点中位数左右两边直方图的面积应相等平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和2标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差3现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性4在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案