1、江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二数学下学期第一次阶段考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若是纯虚数(为虚数单位)，则实数的值为 ( )A1 B C D. 以上都不对2设集合均为的非空真子集，且，则=A B C D ( )3欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”. 该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的. 根据欧拉公式，在复平面内对应的点在 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4.“”是“”的( )条件.A
2、充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要5已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A函数在上是增函数 B是函数的极小值点CD6已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为 ( )A B C D7已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是 ( )A B C. D. 8对于任意两个数，定义某种运算“”如下：当或时，；当时，.则集合的子集个数是A个 B个 C个D个 ( )二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9设集合，若，则实数a的值可以为 ( ) A B0 C3 D
3、10下列命题正确的有 ( )A复数满足，则的虚部为B若为复数，则C若，且，则的取值范围是D已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线11已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有 ( )A B在区间0，3的最大值为0C只有一个零点 D的极大值是正数12定义在上的函数满足，则下列说法正确的是A在处取得极小值，极小值为 B只有一个零点C若在上恒成立，则 D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知函数f(x)，则函数yf(x)的定义域为_，函数yf(2x1)的定义域为 (第一空2分，第二空3分) 14已知且，则实数的值为 . 15已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲
4、、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下（ 为虚数单位）：甲：; 乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 . 16若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（1）计算：.（2）若复数z满足方程：（为虚数单位)，求复数.18设集合，集合.（1）若，求和；（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.19已知函数，其中是自然对数的底数（1）当时，求在上的极值；（2）当时，若在上是单调增函数，求的取值范围20某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生
5、产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.21已知函数，函数在点处的切线斜率为0.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切
6、线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.22已知函数（1）若且方程有解，求的取值范围.（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值段 考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若是纯虚数(为虚数单位)，则实数的值为 ( )AA.1 B. C. D. 以上都不对2. 设集合均为的非空真子集，且，则=A. B. C. D. ( )D3. 欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”. 该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是
7、在欧拉公式：中，令得到的. 根据欧拉公式，在复平面内对应的点在 ( )CA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.“”是“”的( )条件.BA.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A函数在上是增函数 DB是函数的极小值点CD6. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为 ( )CA. B. C. D. 7. 已知函数，若使得成立，则实数的取值范围是 ( )CA. B. C. D. 8. 对于任意两个数，定义某种运算“”如下：当或时，；当时，.则集合的子集个数是A个 B个 C个D个 ( )B二、
8、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设集合，若，则实数a的值可以为 ( ) ABDA. B. 0 C. 3 D. 10. 下列命题正确的有 ( )ADA. 复数满足，则的虚部为B. 若为复数，则C.若，且，则的取值范围是D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线11. 已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有 ( )BCA B在区间0，3的最大值为0C只有一个零点 D的极大值是正数12. 定义在上的函数满足，则下列说法正确的是A. 在处取得极小值，极小值为 (
9、)BCDB. 只有一个零点C.若在上恒成立，则D. 高二数学段考答案选择题1-8 ADCBDCCB9-12 ABD AD BC BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ； 14. 15. 16. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）计算：.解：.-5分（2）若复数z满足方程：（为虚数单位)，求复数.解：设 ，则由，得： ，即，或 故 或,所以-10分18. 设集合，集合.（1）若，求和；（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）.因为，所以，所以，；-6分（2）因为是成立的必要不充分条件
10、，所以，当时，得当时，得，所以实数的取值范围.-6分19. 已知函数，其中是自然对数的底数（1）当时，求在上的极值；（2）当时，若在上是单调增函数，求的取值范围解：（1）当时，有极大值为，当时，有极大值为. -5分（2）因为在上是单调增函数，所以在上恒成立，又，所以在上恒成立令，又，故对称轴为当，即，在上单调递增，且，所以此时恒成立当，即时，在上单调递减，在上单调递增，因为在上恒成立，所以，即，解得，这与矛盾综上，的取值范围是-12分20. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件
11、时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.解：（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，由题意可得，当时，；当时，；所以；-4分（2）由（1）可得，当，当且仅当时，等号成立；当时，则，所以，当时，即函数单调递增；当时， ，即函数单调递减；所以当时，取得最大值；综上，当时，取得最大值万元；即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最
12、大，最大年利润是万元. -12分21. 已知函数，函数在点处的切线斜率为0.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）由题可得函数的定义域为且，由，整理得.（）当时，易知，时.故在上单调递增，在上单调递减.（）当时，令，解得或，则当，即时，在上恒成立，则在上递增.当，即时，当时，；当时，.所以在上单调递增，单调递减，单调递增.当，即时，当时，；当时，.所以在上
13、单调递增，单调递减，单调递增.综上，当时，在上单调递增，在单调递减.当时，在及上单调递增；在上单调递减.当时，在上递增.当时，在及上单调递增；在上递减. -5分（2）满足条件的、不存在，理由如下：假设满足条件的、存在，不妨设，且，则，又，由题可知，整理可得：，令（），构造函数（）.则，所以在上单调递增，从而，所以方程无解，即无解.综上，满足条件的A、B不存在.-12分22. 已知函数（1）若且方程有解，求的取值范围.（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值解：（1）由得的定义域为，且 因为，令，得，令，得所以函数在上为增函数，在为减函数，且当时，有极小值，无极大值要使得方程，则必须 ，则，此时，当时，所以方程必有解，所以. -5分（2）恒成立，即恒成立， 令，则 令显然是增函数，且 ，使即且当时，时， 在上是增函数，在上是减函数当时，有最大值 所以整数的最小值为2-12分12
