1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年山东省大教育联盟高三（上）期末数学试卷（文科）一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集为R，集合A=xZ|1x3，集合B=1，2，则集合A（RB）=（）A0，3B1，0，1，2，3C1，0，3D1，02若z（1+i）=（1i）2（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3某个容量为300的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间（14，16上的频数是（）A36B72C90D1204类比结论“平面内，垂直于同一条直线的两条直线互
2、相平行”，在空间可得如下结论：垂直于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行则正确结论的序号是（）ABCD5我国古代数学名著九章算数中的更相减损法的思路与如图相似记R（ab）为a除以b所得余数（a，bN*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出的b的值为（）A0B1C9D186已知a0，a1，函数在R上是单调函数，若f（a）=5a2，则实数a=（）AB2CD7已知，若A，B，C共线，则sin+cos=（）ABCD8一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点
3、处航行若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间50，100内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（）A20.7%B29.3%C58.6%D41.4%9若直线l被圆C：x2+y2=2所截的弦长不小于2，下列方程表示的曲线中与直线l一定有公共点的是（）Ay=x2B（x1）2+y2=1Cx2y2=1D10已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），且x0时，xf（x）2f（x）0恒成立，设f（1）=a，f（2）=4b，f（3）=9c，则a，b，c的大小关系为（）AabcBabcCbacDbac二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11
4、向量、的夹角为60，且|=1，|=2，则|2|=12两同学预定春节返程票，希望两座相连，且有一人靠窗，从网上看余票尚有（48，49）、（62，63）、（75，76）、（84，85）四组，硬座车厢的座位号设置如图所示，那么他们应该订购的座位号是13若定义运算mn=mn+2m+n，则不等式x（x2）0的解集为14某三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为15设f（x）与g（x）是定义在区间M上的两个函数，若x0M，使得|f（x0）g（x0）|1，则称f（x）与g（x）是M上的“亲近函数”，M称为“亲近区间”；若xM，都有|f（x）g（x）|1，则称f（x）与g（x）是M
5、上的“疏远函数”，M称为“疏远区间”给出下列命题：是（，+）上的“亲近函数”；f（x）=x23x+4与g（x）=2x3的一个“疏远区间”可以是2，3；“”是“与g（x）=x2+a+e2（e是自然对数的底数）是1，+）上的疏远函数”的充分条件其中所有真命题的序号为三、解答题（本大题共6小题，共75分）16设（）求f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，若f（x）的最大值为f（A），求ABC的面积17中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分口井，取得了地质资料进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用
6、很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井以节约勘探费用勘探初期数据资料见如表：井号I123456坐标（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（）16号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的的值与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（）（）设出油
7、量与勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有的出油量不低于50L的井中任意勘察3口井，求恰有2口是优质井的概率18如图所示，正方形BCDE所在的平面与平面ABC互相垂直，其中ABC=120，AB=BC=2，F，G分别为CE，AB的中点（）求证：FG平面ADE；（）求二面角BACE的余弦值19已知等差数列an中，a1=3，a2=6；设，数列bn的前n项和为（）求数列an的通项公式；（）是否存在正整数n，t，使得，若存在，求出n，t的值，若不存在，请说明理由20已知椭圆的离心率为，若与圆E：相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为（）求a，b的值；（）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线
8、，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值21已知函数f（x）=xlnx+a，g（x）=x2+ax，其中aR（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与曲线y=g（x）也相切，求a的值；（）x1，f（x）+g（x）恒成立，求a的取值范围2015-2016学年山东省大教育联盟高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集为R，集合A=xZ|1x3，集合B=1，2，则集合A（RB）=（）A0，3B1，0，1，2，3C1，0，3D1，0【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集与交
9、集的定义，写出RB与A（RB）即可【解答】解：全集为R，集合A=xZ|1x3=0，1，2，3，集合B=1，2，RB=xR|x1且x2，集合A（RB）=0，3故选：A2若z（1+i）=（1i）2（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【解答】解：由z（1+i）=（1i）2，得=1i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限故选：D3某个容量为300的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间（14，16上的频数是（）A36B
10、72C90D120【考点】频率分布直方图【分析】根据频率和为1，先求出在区间（14，16上的频率，再求频数【解答】解：根据频率和为1，得：在区间（14，16上的频率为1（0.02+0.082+0.102）2=0.24所求的频数是3000.24=72故选：B4类比结论“平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，在空间可得如下结论：垂直于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行则正确结论的序号是（）ABCD【考点】类比推理【分析】利用线线，平面与平面平行的判定方法，即可得出结论【解答】解：垂直于同一条直线的
11、两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确垂直于同一条直线的两个平面互相平行故正确垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确故选：A5我国古代数学名著九章算数中的更相减损法的思路与如图相似记R（ab）为a除以b所得余数（a，bN*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出的b的值为（）A0B1C9D18【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，y的值，当y=0时满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=243，b=
12、45y=18，不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9故选：C6已知a0，a1，函数在R上是单调函数，若f（a）=5a2，则实数a=（）AB2CD【考点】函数单调性的性质【分析】根据二次函数，指数函数，以及分段函数的单调性便可得出a1，而由f（a）=5a2可以得到2a2=5a2，解出该方程，取a1的值便可得出实数a的值【解答】解：f（x）在R上为单调函数，且f（x）在0，+）上单调递增；f（x）在（，0）上单调递增；a1，且202=a01；又f（a）=2a2=5a2；解得a=2，或（舍去）；实数a=2故选：B
13、7已知，若A，B，C共线，则sin+cos=（）ABCD【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】由，A，B，C共线，可得log2coslog2sin=1，化简整理再利用平方关系即可得出【解答】解：，A，B，C共线，log2coslog2sin=1，化为=2，且cos0，sin0解得：sin=，cos=则sin+cos=故选：B8一艘轮船从O点正东100海里处的A点处出发，沿直线向O点正北100海里处的B点处航行若距离O点不超过r海里的区域内都会受到台风的影响，设r是区间50，100内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（）A20.7%B29.3%C58.6%D41.4
14、%【考点】解三角形的实际应用【分析】当r大于O点到直线AB的距离时，轮船会受到台风影响【解答】解：AB=100点O到直线AB的距离d=50轮船会遭受台风影响的概率P=258.6%故选：C9若直线l被圆C：x2+y2=2所截的弦长不小于2，下列方程表示的曲线中与直线l一定有公共点的是（）Ay=x2B（x1）2+y2=1Cx2y2=1D【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意知可以得到原点到直线的距离小于等于1，即直线上有一点到原点的距离小于等于1，在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上，得到结果【解答】解：直线l被圆C：x2+y2=2所截的弦长不小于2，原点到直线的距离小于等于1，直线上有一
15、点到原点的距离小于等于1，在四个选项中只有这个点一定在椭圆内或椭圆上，l与椭圆一定有公共点故选D10已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），且x0时，xf（x）2f（x）0恒成立，设f（1）=a，f（2）=4b，f（3）=9c，则a，b，c的大小关系为（）AabcBabcCbacDbac【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质【分析】构造g（x）=，进一步利用函数的导数求出函数g（x）的单调性，再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性，最后求出函数大小关系【解答】解：构造函数g（x）=则g（x）=，当x0时，xf（x）2f（x）0恒成立，函数g（x）0，即当x
16、0时，函数g（x）为单调递减函数函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）=x2f（x）为奇函数即在x0时，函数g（x）为单调递减函数则g（1）=f（1）=a，g（2）=b，g（3）=c，则g（3）g（2）g（1），即abc，故选：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11向量、的夹角为60，且|=1，|=2，则|2|=2【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模【分析】把已知条件代入向量的模长公式计算可得【解答】解：向量、的夹角=60，且|=1，|=2，|2|=2，故答案为：212两同学预定春节返程票，希望两座相连，且有一人靠窗，从网上看余票尚有（48，49）、（62，63
17、）、（75，76）、（84，85）四组，硬座车厢的座位号设置如图所示，那么他们应该订购的座位号是（84，85）【考点】进行简单的合情推理【分析】确定左、右边靠窗户组成等差数列的通项，验证，即可得出结论【解答】解：左边靠窗户，组成以1为首项，5为公差的等差数列，通项为an=5n4，验证知均不符合；右边靠窗户，组成以5为首项，5为公差的等差数列，通项为bn=5n，验证知85符合；所以他们应该订购的座位号是（84，85）故答案为：（84，85）13若定义运算mn=mn+2m+n，则不等式x（x2）0的解集为（2，1）【考点】其他不等式的解法【分析】根据定义进行化简，然后根据一元二次不等式的解法进行求
18、解即可【解答】解：由定义得x（x2）=x（x2）+2x+x20，即x2+x20，得2x1，即不等式的解集为（2，1），故答案为：（2，1）14某三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为8【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出三棱锥的直观图，根据三视图数据计算外接球半径，从而得出面积【解答】解：根据三视图作出棱锥的直观图如图所示，由三视图可知底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，AC=2，PA平面ABC，PA=2PC=2，取AC的中点D，PC的中点O，连结OD，BD，OB，则ODPA，OD=PA=1，BD=1，OD平面ABC，OA=OC=OP=，OB=OA=OB=O
19、C=OP=，即三棱锥的外接球球心为O，半径为外接球的面积S=4（）2=8故答案为：815设f（x）与g（x）是定义在区间M上的两个函数，若x0M，使得|f（x0）g（x0）|1，则称f（x）与g（x）是M上的“亲近函数”，M称为“亲近区间”；若xM，都有|f（x）g（x）|1，则称f（x）与g（x）是M上的“疏远函数”，M称为“疏远区间”给出下列命题：是（，+）上的“亲近函数”；f（x）=x23x+4与g（x）=2x3的一个“疏远区间”可以是2，3；“”是“与g（x）=x2+a+e2（e是自然对数的底数）是1，+）上的疏远函数”的充分条件其中所有真命题的序号为【考点】函数的值；必要条件、充分条
20、件与充要条件的判断【分析】xR，|f（x）g（x）|=|1|=1，即可判断出结论x2，3，则|f（x）g（x）|=1，即可判断出结论令u（x）=，v（x）=x22ex+e2+a利用导数研究函数u（x）的单调性极值与最值可得：函数u（x）取得最大值，u（e）=对于函数v（x），v（x）=（xe）2+aa，利用|f（x）g（x）|=|u（x）v（x）|a|，即可得出判断出结论【解答】解：xR，|f（x）g（x）|=|1|=1，f（x）与g（x）是R上的“亲近函数”，是真命题x2，3，则|f（x）g（x）|=|x23x+4（2x3）|=1，f（x）=x23x+4与g（x）=2x3的是2，3的上的“亲
21、近函数”，而2，3不是f（x）与g（x）的一个“疏远区间”，是假命题令u（x）=，v（x）=x22ex+e2+a对于函数u（x）（x0），u（x）=，可知：xe时，u（x）0，此时函数u（x）单调递减；0xe时，u（x）0，此时函数u（x）单调递增当x=e时，函数u（x）取得最大值，u（e）=对于函数v（x），v（x）=（xe）2+aa，|f（x）g（x）|=|u（x）v（x）|a|，当时，|f（x）g（x）|a|1+1，“”是“与g（x）=x2+a+e2（e是自然对数的底数）是1，+）上的疏远函数”的充分条件，是真命题综上可得：真命题为 故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分）16设
22、（）求f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，若f（x）的最大值为f（A），求ABC的面积【考点】余弦定理；余弦函数的图象；正弦定理【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x）+1，由2k2x2k，kZ，即可解得f（x）的单调递增区间（）由题意可得2sin（2A）+1=3，解得A=k，kZ，结合范围A（0，），可得：A=，又由已知及正弦定理可得c=2b，利用余弦定理即可解得b，c的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（）=2sinxcosx2cos2x+2=sin2xcos2x+1=2sin（2x）+1，由2k2x2k，kZ，解得f（x）的单调递
23、增区间为：k，k，kZ（）f（x）=2sin（2x）+1的最大值为f（A），f（A）=2sin（2A）+1=3，解得：2A=2k+，kZ，解得：A=k，kZA（0，），可得：A=，利用正弦定理可得：c=2b，由余弦定理a2=c2+b22bccosA，可得：6=c=4b2+b2b2b=3b2，解得：b=，c=2，=17中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分口井，取得了地质资料进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井以
24、节约勘探费用勘探初期数据资料见如表：井号I123456坐标（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（）16号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的的值与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（）（）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有的出油量不低于50L的
25、井中任意勘察3口井，求恰有2口是优质井的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；线性回归方程【分析】（）先求出，由回归直线必过平衡点（），求出回归直线方程，由此能求出当x=1时，y的预报值（）先分别求出， =，由此能求出使用位置接近的已有旧井（）由题意知1，3，5，6这4口井是优质井，由题意，X的取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（）=（2+4+5+6+8）=5， =50，回归直线必过平衡点（），则=506.55=17.5，回归直线方程为y=6.5x+17.5，当x=1时，y=6.5+17.5=24，即y的预报值为24（）=4， =46.25
26、， =94，=6.83，=46.256.834=18.93，=6.83， =17.5，5%，8%，均不超过10%，使用位置接近的已有旧井6（1，24）（）由题意知1，3，5，6这4口井是优质井，由题意，X的取值为2，3，4，且P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，X的分布列为： X 2 3 4 PEX=2+3+4=18如图所示，正方形BCDE所在的平面与平面ABC互相垂直，其中ABC=120，AB=BC=2，F，G分别为CE，AB的中点（）求证：FG平面ADE；（）求二面角BACE的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）取BE中点H，连结HF、HG，则H
27、FBC，HGAE，从而平面GHF平面AED，由此能证明FG平面ADE（）以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BACE的余弦值【解答】证明：（）取BE中点H，连结HF、HG，F，G分别为CE，AB的中点，HFBC，HGAE，GHHF=H，AEDE=E，GH、HF平面GHF，AE、DE平面AED，平面GHF平面AED，FG平面GHF，FG平面ADE解：（）正方形BCDE所在的平面与平面ABC互相垂直，ABC=120，AB=BC=2，以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐
28、标系，A（，1，0），C（0，2，0），E（0，0，2），=（，3，0），=（0，2，2），设平面CAE的法向量=（x，y，z）， 则，取x=，得=（，1，1），又平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角BACE的平面角为，则cos=二面角BACE的余弦值为19已知等差数列an中，a1=3，a2=6；设，数列bn的前n项和为（）求数列an的通项公式；（）是否存在正整数n，t，使得，若存在，求出n，t的值，若不存在，请说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）设等差数列an的公差为d，由a1=3，a2=6，可得d=3利用等差数列的通项公式即可得出（II）由（I）可得： =8n可得S
29、n=假设存在正整数n，t，使得，可得，对n，t分类讨论，利用不等式的性质、指数幂的运算性质化简整理即可判断出结论【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，a1=3，a2=6，d=63=3an=3+3（n1）=3n（II）由（I）可得： =23n=8nSn=假设存在正整数n，t，使得，当t=1时，化为：，当n=1时，0成立当n2时，8n+18n1不成立当t2时，化为：158n（7t8），不成立综上可得：只有t=n=1时成立20已知椭圆的离心率为，若与圆E：相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为（）求a，b的值；（）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值【考点
30、】椭圆的简单性质【分析】（）求得圆E的圆心和半径，由弧长公式可得圆心角，由任意角的三角函数的定义可得M的坐标，代入椭圆方程，运用离心率公式可得a，b；（）求出椭圆的方程和准线方程，讨论直线AB的斜率，结合直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和椭圆的第二定义，求得弦长，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到定值【解答】解：（）圆E：的圆心为（0，），半径为r=1，圆E在内的弧长为，可得NENr=，即有NEN=，设M在第一象限，可得xM=rsin=，yM=rcos=1，即为M（，1），代入椭圆方程可得+=1，由e=，又a2b2=c2，解得a=2，b=1；（）证明：椭圆的方程为+x2=1，c=，上
31、准线方程为y=，上焦点为（0，），e=，当直线AB的斜率为0，可得|AB|=1，|CD|=2a=4，则=1+=；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=kx+（k0），则 CD：y=x+，又设点A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组，消去y并化简得（4+k2）x2+2kx1=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2=，即有|AB|=e（y1y2）=（）=，将k换为，可得|CD|=，即有=+=综上可得：为定值21已知函数f（x）=xlnx+a，g（x）=x2+ax，其中aR（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与曲线y=g（x）也相切，求a的值；（）x1，f（x）+g（x）
32、恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出f（x）的导数，计算f（1），f（1），代入切线方程即可；（）问题转化为xlnx+a+x2ax0在（1，+）恒成立，令h（x）=xlnx+a+x2ax，（x1），求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出a的范围即可【解答】解：（）f（x）=lnx+1，f（1）=a，f（1）=1，f（x）在（1，f（1）处的切线方程是：ya=（x1），整理得：xy+a1=0；由得：x2+（a1）xa+1=0，=（a1）24（a+1）=0，解得：a=1；（）x1，f（x）+g（x）恒成立，即xlnx+a+x2ax0在（1，+）恒成立，令h（x）=xlnx+a+x2ax，（x1），h（x）=lnxx+1a，h（x）=1，h（x）在（1，+）递减，且h（1）=a，a0时，存在x0（1，+），使得h（x0）=0，此时h（x）在（1，x0）上恒大于0，h（1）=0，h（x）在（1，x0）上恒大于h（1）不合题意；a0时，h（x）恒小于0，h（x）h（1）=0成立；a=0时，同，h（x）在（1，+）递减，h（x）h（1）=0，综上：a02016年7月30日高考资源网版权所有，侵权必究！
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