1、方程观点解几何计算题 概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，两个未知数列两个方程 典型例题精析 例1有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长 分析：RtABC，C=90，AC=6，BC=8 AB=10由题意知 ACDAEDDEB=90，DECD，AC=AE=6， 设CD=x，则DE=x，而EB=4， 一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程 在RtDEB中，（8-x）2=x
2、2+42， 64-16x+x2=x2+16， 16x=48， x=3（cm） 例2已知O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB中点，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长 解：CE：ED=1：4， 设CE=x，则ED=4x，由相交弦定理得 CEED=AEEB， 即x4x=22， 4x2=4， x=1 CD=x+4x=5x=5 例3如图，AB为O的直径，P点在AB延长线上，PM切O于M点，若OA=a，PM=a，求PMB的周长 分析：条件符合切割线定理，设BP=x，则由PM2=PBPA（方程出来了） 得（a）2=x（x+2a）， x2+2ax-3a2=0， （x+3a）（x-a）=0， x1=a
3、，x2=-3a（舍去） x=a，即BP=a，连结MO（常作辅助线） 则OMP=90，OB=BP=a，则MB为RtOMP的斜边上的中线，MB=OP=aMBP的周长为2a+a 例4如图，圆心在RtABC斜边AB上的半圆切直角边AC、BC于M、N，其中AC=6，BC=8，求半圆的半径 分析：设半径为R，（一个未知数建立一个方程即可），连OM、ON、OC， 则OM=ON=R，用面积，SAOC+SBOC=SABC， 得6R+8R=68（一元一次方程） 14R=48，R=中考样题训练:1（兰州）如图，在ABC中，C=90，BAC=30，BC=1，D为BC边上的一点，tanADC是方程3（x2+）-5（x+
4、）=2的一个根，求CD的长2（武汉）如图，已知直线BC切O于C，PD为O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，A=28，B=26，求PDC的度数3（，黄冈）已知，如图，C为半圆上一点，过C作直径的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F （1）求证：AD=CD；（2）若DF=，tanECB=，求PB的长 4（，荆门）已知关于x的方程x2-（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长 （1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k的值 5（，常德市）如图所示，AB是O的直径，BC是O的弦，O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，BAC
5、=BCP，求解下列问题： （1）求证：CP是O的切线； （2）当ABC=30，BG=2，CG=4时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BFDO成立？试写出你的猜想，并说明理由 6已知：如图所示，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE （1）试猜想：与有何大小关系？并证明你的猜想； （2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长； （3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足，求sin2A的值考前热身训练1要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，求选
6、用的圆形铁片的直径的最小值2圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB长为7，AB把CD分成两部分的线段长为2和6，求AP的长3如图，PA切O于点A，PBC交O于B、C，若PB、PC的长是关于x的方程x2-（m-2）x+（m+2）=0的两个根，且BC=4，求m的值及PA的长4如图，D是ABC的边AC上一点，CD=2AD，AEBC，交BC于点E，若BD=8，sinCBD=，求AE的长5如图，在ABC中，CAD=B，若AD=7，AB=8，AC=6，求DC的长 6已知，如图，以ABC的边BC为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EFBC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长
7、答案:中考样题看台1解：3（x+）2-5（x+）-8=0， x+=或x+=-1， 由x+=得x= x+=-1得x2+x+1=0无解 tanADC=， 在RtABC中，AC= 在RtADC中，CD= CD1，CD=2PDC=363（1）证明：连结AC，CEA=CAECEA=CBA，CBA=CAE，AB是直径，ACB=90，CPAB，CBA=ACP，CAE=ACP，AD=CD （2）解：ACB=90，CAE=ACP，DCF=CFD，AD=CD=DF=，ECB=DAP，tanECB=，tanDAP=，PD2+PA2=DA2，DP=，PA=1，CP=2，ACB=90，CPAB，APCCPB，PB=44
8、（1）要使方程有两个实数根，必须0， 即-（k+1）2-4（k2+1）0， 化简得：2k-30，解之得：k （2） 解之得：k1=2，k2=-6 由（1）可知，k=-6时，方程无实数根，所以，只能取k=25（1）连结OC，证OCP=90即可 （2）B=30，A=BCP=60， BCP=CGP=60，CPG是正三角形 PG=CP=4，PC切O于C PC2=PDPE=（4）2=48， 又BC=6，AB=6，FD=3，EG=， PD=2，PD+PE=2+8=10 以PD、PE为两根的一元二次方程为x2-48x+10=0 （3）当G为BC中点，OGBC，OGAC或BOG=BAC时，结论BG2=BFBO
9、成立要让此结论成立，只证明BFGBGO即可，凡是能使BFGBGO的条件都可以6可以猜想到 证明：延工AD交O于点G BC是O的直径，ADBC， AE=BE， ABE=BAE， （2），BF=AG ADBC，BC是O直径， AG=2AD， BF=2AD， BD、CD的长是方程x-kx+16=0的两个根， BDCD=16 又AD2=BDCD，AD2=16，AD=4，BF=8 （3）连结CF解不等式组得：9k10 k是整数，k=10 由（2）得BD+CD=k， BC+CD=10即O的直径BC=10 ，C=2A 在RtABC中，sinC=， sinA=， sin2A=考前热身训练1R2+R2=42，2R=4（cm）2AP=3或43设PB=a，PC=a+4，则 解之得a=2，m=10 由PA2=PBPC=26=12得PA=24过D作DFBC于F 由sinCBD=，DF=6， 由DFAE AE=9 5易证ADCBAC， 即，x=6连BE，则BEAC，易证BEFBCE， EC=2