1、1.3.3 最大值与最小值学习目标1.理解最值的概念，了解函数的极值与最值的区别和联系 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值及最小值 课前自主学案 温固夯基 若函数yf(x)可导，则“f(x)0有实根”是“f(x)有极值”的_条件必要不充分知新益能 1最大值与最小值 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意_,总有_，则称f(x0)为函数f(x)在定义域I上的最大值(最小值)2求函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的_；(2)将函数yf(x)的各极值与_处的函数值yf(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_.xIf(x)f(x0
2、)(f(x)f(x0)极值端点最大值最小值1能否认为函数的最大值一定是函数的极大值，函数的最小值必是函数的极小值？提示：这种说法不正确当函数在闭区间的端点取得最值时，这样的最值一定不是极值 问题探究 2在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么在a，b上一定存在最值和极值吗？提示：一定有最值，但不一定有极值如果函数f(x)在a，b上是单调的，此时f(x)在a，b上无极值；如果f(x)在a，b上不是单调函数，则f(x)在a，b上有极值 课堂互动讲练 求函数的最值 考点突破 在求函数的最大值和最小值时，需要先确定函数的极值，因此函数极值的求法是关键 求下列函数的最值例1【思路点拨
3、】求fx令fx0得到相应的x的值 划分区间 列表 观察在相应区间上的单调性 确定极值点求极值与端点值并比较大小 确定最值(1)f(x)2x312x，x1,3；(2)f(x)12xsinx，x0,2【解】(1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0解得x或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)0 0 f(x)极大值 极小值 因为 f(1)10，f(3)18，f(2)8 2，f(2)8 2；所以当 x 2时，f(x)取得最小值8 2；当 x3 时，f(x)取得最大值 18.(2)f(x)12cosx，令 f(x)0，又 x0,
4、2，解得 x23 或 x43.9 分当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x 0 2 f(x)0 0 f(x)0 极大值 极小值 0，2323，4343，2当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).【名师点评】求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论变式训练1求下列函数的最值：(1)f(x)3xx3(3x3)；(2)f(x)612xx3，x13，1解：(1)f(x)33x2，
5、令 f(x)0，得 x1，f(1)2，f(1)2，又 f(3)0，f(3)18.f(x)max2，f(x)min18.(2)f(x)123x20，x2.当 x(，2)时，f(x)0，f(x)在(，2)内为增函数，当 x(2,2)时，f(x)0，函数 f(x)alnxx.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)求函数 f(x)在区间a,2a上的最小值【思路点拨】先求导，判断极值与区间端点值的大小【解】(1)函数的定义域是(0，)，又 f(x)a1lnxx2，由于 a0，所以解不等式 f(x)a1lnxx20，得 0 xe；解不等式 f(x)a1lnxx2e.故函数 f(x)在(0，e)上单调递增
6、，在(e，)上单调递减(2)当 2ae，即 ae2时，由(1)知，函数在a,2a上单调递增，所以 f(x)minf(a)lna；当 ae 时，由(1)知，函数在a,2a上单调递减，所以 f(x)minf(2a)12ln(2a)；当e2ae 时，需比较 f(a)与 f(2a)的大小，由于 f(a)f(2a)lna12ln(2a)12(lnaln2)，所以若e2a2，则 f(a)f(2a)，此时 f(x)minf(a)lna；若 2af(2a)，此时 f(x)minf(2a)12ln(2a)综上所述，当 02 时，f(x)min12ln(2a)【名师点评】求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则
7、应进行分类讨论由于函数的最值只能在极值点和端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理 变式训练 2 设23a1，函数 f(x)x332ax2b(1x1)的最大值为 1，最小值为 62，求常数 a，b 的值解：f(x)3x23ax0，得 x0 或 xa.f(a)12a3b，f(1)132ab，f(1)132ab，f(0)b.由23a1，可得 f(a)、f(0)、f(1)、f(1)中 f(1)是最小的，f(0)是最大的所以132ab 62，b1，解得a 63，b1.恒成立求参数范围：若f(x)f(x)max；若f(x)c恒成立，则cf(x)min.(注
8、意由条件列不等式)与最值有关的恒成立问题 例3(本题满分 14 分)设 f(x)x312x22x5.(1)求函数 f(x)的单调递增、递减区间；(2)当 x1,2时，f(x)0，f(x)为增函数；当 x(23，1)时，f(x)0，f(x)为增函数所以 f(x)的单调递增区间为(，23)和(1，)，f(x)的单调递减区间为(23，1).7 分(2)当 x1,2时，f(x)7.14 分【名师点评】恒成立问题是高考的热点之一解决这类问题的方法是：转化为函数的最值问题本题中的第(2)问，要使mf(x)恒成立，只要m比f(x)的最大值还大即可，求出f(x)的最大值，问题便可得到解决在确定m的范围时，要注意等号能否取到1极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数的整个定义域内的性质，函数的最值反映了函数在定义域内的性质 2(1)函数存在最值的条件：给定函数的区间必须是闭区间，即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值；(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值 方法感悟 3函数的最值与极值不是同一个概念若函数在闭区间a，b内有多个极值时，则最值由极值与端点处的函数值相比较得到，若在闭区间a，b内为单峰函数，则极值点就是最值点