1、13.3 已知三角函数值求角 学习目标 1.掌握已知三角函数值求角的方法，会用已知的三角函数值求角，并会用符号 arcsinx，arccosx，arctanx 表示角2牢记一些比较常见的三角函数值，在以后的学习中会带来很大的方便课前自主学案 温故夯基 1与任意角 终边相同的角 可表示为：_.2正弦函数 ysinx 在_上是增函数，2k，kZ22k，22k(kZ)在_上是减函数，余弦函数ycosx 在_上是减函数，在_上是增函数正切函数ytanx 在_上是增函数2k，(2k1)(kZ)22k，32 2k(kZ)(2k1)，2(k1)(kZ)(2k，2k)(kZ)知新益能 1已知正弦值，求角对于正
2、弦函数 ysinx，如果已知函数值 y(y1,1)，那么在_上有唯一的 x 值和它对应，记作 x_(1y1，2x2)2已知余弦值，求角对于余弦函数 ycosx，如果已知函数值 y(y1,1)，那么在_上有唯一的 x 值和它对2，2arcsiny0，应，记作 x_(1y1,0 x)3已知正切值，求角如果正切函数 ytanx(yR)且 x(2，2)，那么对每一个正切值 y，在开区间_内有且只有一个角 x，使 tanxy，记作 x_(yR，2x0，x 为第一或第二象限的角且 sin3sin(3)32.在0,2上符合条件的角有 x3或 x23，x 的取值集合为3，23(3)当 xR 时，x 的取值集合
3、为x|x2k3或 x2k23，kZ【点评】若所求角 x 在2，2内，直接写出arcsiny.若 x2，2，(1)先写出 arcsiny；(2)用 arcsiny 表示一个角，使之在所求 x 的范围之内；(3)验证此角的正弦值符合条件变式训练 1 已知 sinx 33，根据下列角的范围求角 x(用 arcsiny 表示)(1)x2，2；(2)x0,2；(3)xR.解：(1)x2，2且 sinx 33，xarcsin 33.(2)x0,2，sinx 33 0，x0，当 x0，22，2时，xarcsin 33.当 x2，时，0 x2，即 x0，22，2，且 sin(x)sinx 33，xarcsin
4、 33，即 xarcsin 33.当 x0,2时，xarcsin 33 或 xarcsin 33.(3)由终边相同角的正弦值知，当 xR 且 sinx 33时，x2karcsin 33(kZ)或 x2karcsin 33(kZ)已知余弦值，求角根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件cosxa(1a1)的角 x 有且只有一个，选择闭区间0，作为基本的范围在这个闭区间上，符合条件 cosxa(1a1)的角 x，记作 arccosa，即 xarccosa，其中 x0，且 acosx.例2已知cosx0.287.(1)当x0，时，求x；(2)当xR时，求x的取值集合【思路点拨】由题目可获取以下主要信息
5、：已知角x的余弦值；分别给出了x0，和xR两个不同的范围 解答本题可先求出定义arccosa的范围内的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合【解】(1)cosx0.287，且 x0，xarccos(0.287)(2)当 xR 时，先求出 x0,2上的解cosx0.287，故 x 是第二或第三象限角，由(1)知 x1arccos(0.287)是第二象限角cos(2arccos(0.287)cos(arccos(0.287)0.287 且 2arccos(0.287)(，32)，x22arccos(0.287)由余弦函数的周期性知，当 x2kx1或 x2kx2，kZ 时，cos
6、x0.287.即所求 x 值的集合是：x|x2karccos(0.287)，kZ【点评】cosxa(1a1)，当 x0，时，则 xarccosa，当 xR 时，可先求得0,2内的所有解，再利用周期性可求得：x|x2karccosa，kZ变式训练 2 求 arccos1arccos(12)arccos 22 的值解：0arccos1，0arccos(12)，0arccos22 ，且cos(arccos1)1，cos(arccos(12)12，cos(arccos 22)22，arccos10，arcos(12)23，arccos 22 4.原式023 41112.已知正切值，求角已知正切值求角与
7、已知正(余)弦值求角的思路相同点是找角、表示角、确定角 例3 已知tanx1，求 x，并写出在区间2，0内满足条件的 x.【思路点拨】应用最简单的三角函数解集直接写出在R上的解集，再用赋值法写出2，0内的解【解】因为 tan x1，所以满足条件的 x 的解集为x|xkarctan(1)，kZx|xk4，kZ在 xk4中，令 k0 或1，得 x4或 x54，即在2，0内且正切值为1 的角 x 有4与54.【点评】已知正切值求角与已知正(余)弦值求角的不同点是：(1)已知正(余)弦值求角中的找角范围一般是在0,2(，)，而已知正切值求角中的找角范围一般是在(2，2)；(2)在表示角中，已知正(余)
8、弦值求角中加“2k，kZ”，而在已知正切值求角中加“k，kZ”方法感悟 1三角函数值与角都在某一范围内变化时，三角函数值与角之间的对应关系sinxa(|a|1)x2，2x0,2xarcsina0a11a0 x1arcsinax2arcsinax1arcsinax22arcsinacosxa(|a|1)x0，x0,2cosxa(|a|1)xarccosax1arccosa x22arccosatanxa(aR)x(2，2)x0,2xarctanaa0a0 x1arctana x2arctanax1arctana x22arctana2.已知三角函数值求角时应注意的问题在一定范围内已知三角函数值对应的角不一定只有一个，可分为以下几步求解第一步：确定角可能在第几象限；第二步：如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1；第三步：如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出(0,2)内对应的角；第四步：如果要求出(0,2)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数这一规律写出结果