1、1()双曲线y21的离心率是()A. B. C. D.解：双曲线y21中，a24，b21，c2a2b25，双曲线的离心率是e.故选C.2()双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D.解：双曲线y21的顶点坐标为(2，0)，渐近线方程为x2y0，由点到直线的距离公式知d.故选C.3()已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解：由题意知c3，e，a2.b2c2a232225.C的方程为1.故选B.4若双曲线1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为()A. B. C. D2解：渐近线方程
2、为yx，一个焦点的坐标为(c，0)，由点到直线的距离公式得db2a，ca，离心率e.故选C.5已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解：圆C的方程可化为(x3)2y24，则圆心C(3，0)，半径r2，c3.又双曲线的渐近线方程为yx，即bxay0，两条渐近线均和圆C相切，2，即3b2c6，b2，a2c2b25.所求双曲线方程为1.故选A.6设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的
3、取值范围是()A(1，) B(1，)C(1，1) D(1，1)解：由方程组 得A，B，|AF1|.易知|F1F2|2c.ABF2为锐角三角形，F1F2A45，|AF1|F1F2|，即2c，有b2c2a22ac，整理得e22e10(e1)，解得1e1.故选D.7()若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为_解：在双曲线1中，离心率e，可得，故所求双曲线的渐近线方程是yx.故填yx.8()已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解：由题意知a3，b4，c5，点A(5，0)为双曲线C的右焦点又2a6，2a6，4b16，PQ
4、F的周长l(6)(6)212321244.故填44.9已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)，求C的离心率解：易求得直线l的方程为yx2，代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由M(1，3)为BD的中点知1，1，有b23a2.c2a.C的离心率e2.10已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程解：由题设知，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方
5、程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x)联立解得交点坐标为x，y，即x1，y1，则x0，|x|.而点P(x1，y1)在双曲线y21上，y1.将代入上式，整理得所求轨迹E的方程为y21，x0且x.11()在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2y21.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点若2，求M点的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积解：(1)双曲线C：y21，左焦点F.设M(x，y)，则y2.由M是双曲线C右支上一点，知x，x2，得x，此时y.M点的坐标为.(2)易知左顶点A，渐近线方程为yx.过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，
6、即yx1.解方程组得所求平行四边形的面积S. 设A是双曲线1右支上一点，F为右焦点，连结AF交双曲线的右支于B点，作直线BC垂直定直线l：x，垂足为C，求证：直线AC恒过定点证法一：易知直线AB的斜率不为零，故可设直线AB的直线方程为x5my.由方程组 消去x得(9m216)y290my810.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.易知直线AC的斜率为k，故直线AC的方程为yy2k，即yk.又(y2).因此，直线AC的方程为yk，故直线AC恒过定点.证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知F(5，0)，C.如图，过点A作AD垂直于l，D为垂足过点F作直线PQx轴，交AD，BC于P，Q，易知APFBQF ，则，由|AF|AD|e，|BF|BC|e，有，即，整理得x1x2(x1x2)16.易知kAB，.直线AC的斜率为k，故直线AC的方程为yy2k，即yk.将代入，经计算，.因此，直线AC的方程为yk，故直线AC恒过定点(验证可知当直线AB的斜率不存在时也满足)