1、3分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.应用1由基本概念、法则引起的分类讨论【典例1】(1)若函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.(2)在等比数列an中，已有a3，S3，则a1_.(1)(2)或6(1)若a1，有a24，a1m.解得a2，
2、m.此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意(2)当q1时，a1a2a3，S33a1，显然成立当q1时，由a3，S3，由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去)当q时，a16，综上可知，a1或a16.【对点训练1】(1)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()ABCD(2)已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.(3)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，且A2B，bc，若a2c2b22acsin C，则A_.(1)A(2)(3)(1)由于f(a)3，若a1，则2a123，整理得2a11.由于2x
3、0，所以2a11无解；若a1，则log2(a1)3，解得a18，a7，所以f(6a)f(1)2112.综上所述，f(6a).(2)当a1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意得无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，由题意得解得所以ab.(3)a2c2b22acsin C，sin C.由余弦定理得cos Bsin C，0B，0C，CB或CB.当CB时，由A2B且ABC，得A，BC，这与“bc”矛盾A.当CB时，由A2B且ABC，得B，C，A.应用2由图形的不确定性引起的分类讨论【典例2】(1)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k()
4、A B.C0D或0(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率等于_(1)D(2)或(1)不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kxy10与直线y轴或y2x垂直时才满足结合图形可知斜率k的值为0或.(2)不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.【对点训练2】(1)已知正三棱柱的侧面展
5、开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A.B4C.D4或(2)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率为_(1)D(2)或(1)当正三棱柱的高为4时，体积V244；当正三棱柱的高为6时，体积V6，故选D.(2)由题意可知m22816，m4.当m4时，曲线为椭圆，离心率e.为m4时，曲线为双曲线，离心率e.应用3由参数变化引起的分类讨论【典例3】已知函数f(x)x2(2m1)xln x(mR)(1)当m时，若函数g(x)f(x)(a1)ln x恰有一个零点，求a的取值范围；(2)当x1时，f(x)(1m)x2恒成立，求m的取值范围切入点：(1)求f(x)，就a的取值结合f(x)的
6、单调性分析(2)构造函数h(x)f(x)(1m)x2，就m的取值及h(x)的最大值情况求m的取值范围解(1)函数g(x)的定义域为(0，)当m时，g(x)aln xx2，所以g(x)2x.当a0时，g(x)x2，在x(0，)上，g(x)0无解x0时无零点，即a0.当a0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，取x0e，则g10，因为g(1)1，所以g(x0)g(1)0，此时函数g(x)恰有一个零点，即a0.当a0时，令g(x)0，解得x.当0x时， g(x)0，所以g(x)在上单调递减；当x时，g(x)0，所以g(x)在上单调递增要使函数g(x)有一个零点，则galn0，即a2e.综
7、上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a2e或a0.(2)令h(x)f(x)(1m)x2mx2(2m1)xln x，根据题意，当x(1，)时，h(x)0恒成立又h(x)2mx(2m1).若0m，则x时，h(x)0恒成立，所以h(x)在上是增函数，且h(x)，所以不符合题意若m，则x(1，)时，h(x)0恒成立，所以h(x)在(1，)上是增函数，且h(x)(h(1)，)，所以不符合题意若m0，则x(1，)时，恒有h(x)0，故h(x)在(1，)上是减函数，于是“h(x)0对任意x(1，)都成立”的充要条件是h(1)0，即m(2m1)0，解得m1，故1m0.综上，m的取值范围是1,0【对点训练3】已知函数f(x)ax12a(a0)，若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范围解令g(x)f(x)ln xax12aln x，x1，)，则g(1)0，g(x)a.当1，即0a时，若1x，则g(x)0，g(x)在上是减函数，所以存在x1，)，使g(x)g(1)0，即f(x)ln x，所以f(x)ln x在1，)上不恒成立当1，即a时，若x1，则g(x)0，g(x)在1，)上是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，所以当x1时，f(x)ln x恒成立综上所述，a的取值范围为.