1、23.2平面向量的正交分解及坐标表示23.3平面向量的坐标运算目标 1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系2.会两个向量的和差及实数与向量积的坐标表示重点 平面向量的正交分解及坐标表示难点 平面向量的坐标运算知识点一 向量的正交分解及坐标表示 填一填1向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y
2、叫做a在y轴上的坐标答一答1特别地，i，j，0的坐标分别是什么？提示：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)知识点二 平面向量的坐标运算 填一填已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，即两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差)(2)a(x1，y1)(R)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(3)若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，则(x1，y1)，(x2，y2)，(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的
3、坐标减去始点的坐标答一答2与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b(0，y)3若A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求线段AB的长度？提示：由于(x2x1，y2y1)且线段AB的长度等于向量的模，所以线段AB|.类型一 平面向量的坐标表示 例1在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|2，|b|3，|c|4，向量a，b，c的坐标分别为_，_，_.解析设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)分别求出a1，a2，b1，b2，c1，c2.a1|a|cos452，a2|a|sin452，b
4、1|b|cos1203，b2|b|sin1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.a(，)，b，c(2，2)答案(，)(2，2)始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角.变式训练1如图所示，正方形ABCD的中心为坐标原点O，已知A(1，1)，分别用基底i，j表示，并求出它们的坐标解：由题意得B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)，所以ij(1，1)，ij(1，1)，ij(1,1)，|2且CD，CB分别与x轴，y轴平行，所以2i(2,0)，2j(0,
5、2)类型二 平面向量的坐标运算 例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标分析首先设出M、N的坐标，结合已知条件，分别建立关于M、N坐标的方程从而求得M，N的坐标以及的坐标解由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2，4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)，所以33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3,24)，所以，解得x10，y120；(x23，y24)(12,6)，所以，解得x29，y22，所以M(0,20)，N(9,2)，(9,2)(0,20)(9，1
6、8)(1)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组).(2)进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来.一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求点P的坐标时，可以转化为求以坐标原点为起点，点P为终点的向量的坐标.变式训练2已知a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，且有cpaqb.试求实数p，q的值解：a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，paqbp(1,2)q(1，1)(pq,2pq)cpaqb，解得故p，q的值分别为1,4.类型三 平面向量坐标运算的应用 例3已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(2,1)，(1,3)，(3,4)，求顶
7、点D的坐标分析对于此题，教材中解法1利用向量相等(即)求解，解法2利用向量的加法求解下面再介绍四种解题方法解方法1(利用平行四边形对边对应的向量相等，即)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，在ABCD中，又(x2，y1)，(4,1)，(x2，y1)(4,1)，即解得顶点D的坐标为(2,2)方法2(利用向量加法)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则.，(x，y)(2,1)(4,1)(2,2)顶点D的坐标为(2,2)方法3(利用向量减法)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则，(x，y)(4,1)(2，1)(2,2)，顶点D的坐标为(2,2)方法4(利用中点的向量表
8、达式)如图，在ABCD中，设AC的中点为M，则点M也是BD的中点()()，(2,1)(3,4)(1,3)(2,2)顶点D的坐标为(2,2)向量的坐标运算主要利用向量的加、减及数乘运算法则进行，解题的关键是由已知的有向线段两个端点的坐标求出相应向量的坐标.变式训练3如图，在ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标解：A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，(37,58)(4，3)(47,38)(3，5)D是BC的中点，()(43，35)(7，8).M，N分别为AB，AC的中点，F为AD的中点.1已知平面向量a
9、(1,1)，b(1，1)，则向量ab(D)A(2，1) B(2,1)C(1,0) D(1,2)解析：ab(1,1)(1，1)(1,2)2设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于(D)A(1，1) B(1,1)C(4,6) D(4，6)解析：4a3b2ac0，c2a3b2(1，3)3(2,4)(4，6)3已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则121.解析：由c1a2b，得(3,4)1(1,2)2(2,3)所以解得11，22，所以121.4若向量a(2x1，x23x3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4
10、)，则x1.解析：(2,4)(1,3)(1,1)，a，解得x1.5如图，已知边长为12的等边ABC中，点D是边AC上靠近点A的一个三等分点，求点D和的坐标解：依题意可得A(0,6)，B(6,0)，C(6,0)设点D的坐标为(x，y)则(x6，y)，(6,6)因为，所以(x6，y)(6,6)(4,4)所以解得所以点D的坐标为(2,4)所以(8,4)本课须掌握的三大问题1在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系关系图如图所示2向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同. 当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同3向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误