1、第二章检测(B)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 已知在等差数列an中,a7+a9=16,a4=1,则 a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析a7+a9=a4+a12,a12=a7+a9-a4=16-1=15.答案 A2 设首项为 1,公比为 的等比数列an的前 n 项和为 Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an解析 Sn=-=3-2an.答案 D3 设 f(n)=2+24+27+210+23n+10(n
2、N),则 f(n)等于()A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+3-1)D.(8n+4-1)解析由题意,得 2,24,27,23n+10构成以 2 为首项,以 8 为公比的等比数列,则 f(n)=-(8n+4-1).答案 D4 若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a=()A.4B.2C.-2D.-4解析由题意,得 解得 或 -由于 a,b,c 是互不相等的实数,故 a=-4.答案 D5 已知公比为 2 的等比数列an的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5=()A.1B.2C.4D.8解析利用等比数列的性质和通项公式求解
3、.a3a11=16,=16.又 an0,a7=4.a5=a7q-2=42-2=1.故选 A.答案 A6 设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn取最小值时,n 等于()A.6B.7C.8D.9解析设等差数列的公差为 d,则由 a4+a6=-6,得 2a5=-6,a5=-3.又 a1=-11,-3=-11+4d,d=2,Sn=-11n+-2=n2-12n=(n-6)2-36,故当 n=6 时 Sn取最小值.答案 A7 已知数列an为等差数列,其公差为-2,且 a7是 a3与 a9的等比中项,Sn为数列an的前 n 项和,nN+,则 S10的值为()A.
4、-110B.-90C.90D.110解析a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又 a7是 a3与 a9的等比中项,(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得 a1=20.S10=1020+109(-2)=110.答案 D8 已知在等比数列an中,a1=-512,公比 q=-.用 Tn表示它的前 n 项之积:Tn=a1a2an,则T1,T2,T3,中最大的是()A.T10B.T9C.T8,T11D.T9,T10解析Tn=q1+2+(n-1)=-=(-1 -,当 n=8 或 n=11 时,T8,T11相等,且最大.答案 C9 数列 ,的前
5、n 项和为()A.2-B.1-C.n(-)D.2-解析 Sn=+,Sn=+-,由-,得 Sn=+(-)-=1-=1-,Sn=2-.答案 A10 已知在等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前 8 项和等于()A.6B.5C.4D.3解析a4=2,a5=5,a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=10,lg a1+lg a2+lg a8=lg a1a2a8=lg(a1a8)4=lg(a4a5)4=4lg a4a5=4lg 10=4,选 C.答案 C二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 已知等比数列an为递增数列.若 a10,且
6、 2(an+an+2)=5an+1,则数列an的公比q=.解析根据等比数列的定义求解.a10,q1,根据已知条件 2(an+an+2)=5an+1,等式两边同除以 an+1,得 2()=5,解得 q=2.答案 212 已知在等差数列an中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn取得最大值,则 d 的取值范围为 .解析由题意知当 d0,数列an中所有非负项的和最大.又当且仅当 n=8 时,Sn取最大值,解得-1d-.答案(-)13 打一口深 20 米的井,打到第一米深处时需要 40 分钟,从第一米深处打到第二米深处需要 50 分钟,以后每深一米都要比前一米多 10
7、 分钟,则打到最后一米深处要用 分钟,打完这口井总共用 分钟.解析设打到第 n 米,需要 an分钟,由题意,得数列an是等差数列,其中 a1=40,d=10.打到最后一米深处要用的时间为 a20,打完这口井总共用的时间为 S20,则 a20=40+(20-1)10=230(分钟).S20=4020+10=2 700(分钟).答案 230 2 70014 已知数列an满足 3an+1+an=4,a1=9,前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|6,故答案为 7.答案 715 已知数列an满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则数列an的前 60 项和为 .解析an+1+(-1)na
8、n=2n-1,a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,a1+a2+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+234=1 830.答案 1 830三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分 8 分)已知数列an是一个等差数列,且 a2=1,a
9、5=-5.(1)求数列an的通项公式 an和前 n 项和 Sn;(2)设 cn=-,bn=,证明:数列bn是等比数列.(1)解设数列an的公差为 d,由已知条件,得 -解得 a1=3,d=-2,an=a1+(n-1)d=-2n+5,Sn=na1+-d=-n2+4n.(2)证明an=-2n+5,cn=-=n,bn=2n.=2(常数),数列bn是等比数列.17(本小题满分 8 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2为整数,且 SnS4.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=,求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)由 a1=10,a2为整数知,等差数列an的公差 d
10、为整数,又 SnS4,故 a40,a50,于是10+3d0,10+4d0.解得-d-.因此 d=-3.数列an的通项公式为 an=13-3n.(2)bn=-(-).于是 Tn=b1+b2+bn=(-)(-)(-)(-)-.18(本小题满分 9 分)已知在数列an中,a1=1,当 nN,且 n2 时,(2n+1)an=(2n-3)an-1.(1)求通项公式 an;(2)求前 n 项和 Sn.解(1)当 nN,且 n2 时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,-,-,-,以上(n-1)个等式相乘,得 -,又 a1=1,an=-(n2).a1=1 也符合上式,an=-.(2)由(1)知 an=-
11、=(-),Sn=a1+a2+an=(-)=(-).19(本小题满分 10 分)已知数列an满足 a1=1,|an+1-an|=pn,nN+.(1)若数列an是递增数列,且 a1,2a2,3a3成等差数列,求 p 的值;(2)若 p=,且数列a2n-1是递增数列,数列a2n是递减数列,求数列an的通项公式.解(1)因为数列an是递增数列,所以|an+1-an|=an+1-an=pn.而 a1=1,因此 a2=p+1,a3=p2+p+1.又 a1,2a2,3a3成等差数列,所以 4a2=a1+3a3,因而 3p2-p=0,解得 p=或 p=0.当 p=0 时,an+1=an,这与数列an是递增数列
12、矛盾.故 p=.(2)由于数列a2n-1是递增数列,因而 a2n+1-a2n-10,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0.但 -,所以|a2n+1-a2n|0,因此 a2n-a2n-1=()-.因为数列a2n是递减数列,同理,可得 a2n+1-a2n1,两边取对数,得 lg(1+an+1)=2lg(1+an),即 =2,数列lg(1+an)是公比为 2 的等比数列.(2)解由(1)知,lg(1+an)=2n-1lg(1+a1)=2n-1lg 3=lg -,1+an=-.Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)=-.由式,得 an=-1.(3)解an+1=+2an,an+1=an(an+2),(-),.又 bn=,bn=2(-),Sn=b1+b2+bn=2(-)=2(-).an=-1,a1=2,an+1=-1,Sn=1-.又 Tn=-,Sn+-=1.