1、 函数的单调性、奇偶性一、选择题： 1下列函数中，在上为减函数的是 （ ）AB CD2下列函数中，为偶函数的是 （ ）A B C D3函数当时为增函数，当是减函数，则等于（ ）A1 B9 C D134函数的递增区间为 （ ）A B C D5已知，且，则的值为 （ ）AB C D6已知函数在R上为减函数，则的单调减区间为 （ ）AB C D7“”是“为奇函数”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件8已知函数在R上为奇函数，且当时，则在R上的解析式为 ( )A B C D9设为上的奇函数且不恒为零，那么时，函数是（ ）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶
2、函数 D既不是奇函数又不是偶函数10已知函数，则下列说法中，正确的是 （ ）A是偶函数，且在上是增函数 B是偶函数，且在上是减函数 C是非奇非偶函数，且在上是增函数 D是非奇非偶函数，且在上是减函数二、填空题： 11已知函数是定义在 R上的奇函数，给出下列命题： （1）；（2）若 在 0, 上有最小值 -1，则在上有最大值1； （3）若 在 1, 上为增函数，则在上为减函数；其中正确的序号是： ; 12（1）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知的单调递减区间是，则实数的取值范围是 . 13已知函数若，则的值为： ; 14已知函数是R上的增函数，A(0,1)、B(3,1)
3、是其图象上的两点，那么的解集的补集是： . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15为上的奇函数，当时，求的解析式. 16判断下列函数的奇偶性： ； ； ； 17定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的集合；定义在2 , 2 上的偶函数，当0时，单调递减，若成立, 求的取值范围18已知：函数在上是奇函数，且在上是增函数，求证：在上也是增函数。19设是定义在R上的偶函数，且图象关于对称，己知 时，求时，的表达式20讨论函数在上的单调性参考答案一、选择题：ACDAB BDCAD5提示：设，可以证明为奇函数。二、填空题：11、 ； 12 ，； 13； 14(,1)2,+ 。12解：原
4、二次函数的对称轴为，又因为该函数开口向上，由题意得：， 即 由题意得： 即。 13解：构造函数，则一定是奇函数 又， 因此 所以，即说明：函数的奇偶性不但可以求函数值，也可以利用奇偶性的图象性质作函数图象。三、解答题：15解：由于是奇函数，故， 设，则，由已知有，又，因此，从而，所求的解析式为：说明：若奇函数在时有意义，则。第7题中没有“在时有意义”这一条件，因此“”是“为奇函数”的既不充分又不必要条件。16解： ，故既是奇函数又是偶函数；函数的定义域由确定，即为，此时，故既是奇函数又是偶函数；的定义域关于原点不对称，由函数奇偶性的定义知，故 为非奇非偶函数；函数的定义域由确定，即为，此时，于
5、是，因此为奇函数。说明：（）如果从表面上由定义：，即判断为偶函数，则对函数奇偶性的研究不够深入。、通过化简，均可得，从而、中的函数均既是奇函数又是偶函数；（）在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑或；当时，也可以考虑与或的关系。17解： ， 又定义在上的减函数， 即满足题意的取值的集合为。分析：1m，m不知道正负，故应把1m，m转化到同一个单调区间内，然后摆脱。解：函数为偶函数, 对定义域中的任何x都有：， 即为 在x0时单调递减，上式等价于不等式组：。说明：偶函数在原点两侧对称的区间上单调性相反，奇函数在原点两侧对称的区间上单调性相同（下题即为其一例）。牢记这个结论，对解题大有帮助，
6、我们把它称为“奇同偶反”，另外偶函数，有；若奇函数的定义域包含原点，则。18证明：设，则在上是增函数。,又在上是奇函数。,即所以，在上也是增函数。说明：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！19解：的图象关于x=2对称，当，。 20解：设， 又， 当，即时，当，即时，所以，当时， 在为减函数；当时， 在为增函数。说明：（1）一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，如：在上是单调递减的，并且在上也是单调递减的，只能说和是函数的两个单调递减区间，不能说是原函数的单调递减区间；（2）通过观察图像，对函数是否具有某种性质做出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法；（3）判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：取值：在给定区间上任取两个值，且；作差变形：作差，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；定号：判断上述差的符号，若不能确定，则可分区间讨论；结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
