1、01第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课时过关能力提升1在ABC中,a=1,C=60,若c=3,则A的值为()A.30B.60C.30或150D.60或120答案A2已知在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c=6+2,且A=75,则b等于()A.2B.4+23C.4-23D.6-2解析sin A=sin 75=sin(45+30)=6+24.由a=c=6+2,可知C=75,所以B=30.所以sin B=12.由正弦定理,得b=asinBsinA=(6+2)126+24=2.答案A3设a,b,c分别是ABC中A,B,C所对边的边长,则直线xsin A+ay+
2、c=0与bx-ysin B+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析由题设条件可知a0,sin B0,从而两条直线的斜率分别是k1=-sinAa,k2=bsinB.由正弦定理知asinA=bsinB,从而有k1k2=-1,所以两条直线垂直.答案C4若sinAa=cosBb=cosCc,则ABC是()A.等边三角形B.有一内角是30的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一内角是30的等腰三角形解析由正弦定理及已知条件得sin B=cos B,sin C=cos C,则B=C=45,A=90.故该三角形为等腰直角三角形.答案C5在ABC中,若a=1,b=x,A=30
3、,则使ABC有两解的x的范围是.答案(1,2)6在ABC中,已知三个内角A,B,C对边的边长分别为a,b,c,tan C=43,c=8,则ABC的外接圆半径为.解析C为ABC的内角,tan C=43,0C90,sin C=45.由正弦定理,得csinC=2R,2R=8sinC=845=10,则R=5.答案57在ABC中,已知B=60,AC=3,则AB+2BC的最大值为.解析令AB=c,BC=a,则由正弦定理得asinA=csinC=ACsinB=332=2,则c=2sin C,a=2sin A,且A+C=120,故AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(12
4、0-C)=2sin C+432cosC+12sinC=4sin C+23cos C=27sin(C+)其中tan=32.当C+=90时,AB+2BC取最大值,为27.答案278已知在ABC中,B=60,最大边与最小边之比为(3+1)2,则最大角的角度为.解析设最大角为A,最小角为C,由B=60,得A+C=120,则A=120-C.根据正弦定理得ac=sinAsinC=sin(120-C)sinC=3+12,2sin(120-C)=3sin C+sin C,即3cos C+sin C=3sin C+sin C,tan C=1.故C=45,A=75.答案759已知a,b,c分别为ABC的A,B,C
5、的对边,p=(cos C,sin C),q=(1,3),且pq.(1)求C的大小;(2)若sin B=cos 2B,且c=3,求a,b的值.分析本题是三角恒等变换与解三角形以及向量知识相结合的一道题目,由pq可得C的正切值,进而求出C;再由sin B=cos 2B,c=3和正弦定理可求出a,b.解(1)pq,cosC1=sinC3.tan C=3.又C(0,),C=3.(2)sin B=cos 2B=1-2sin2B,2sin2B+sin B-1=0.sin B=12或sin B=-1(舍去).B0,23,B=6.A=2.由正弦定理,得b=csinBsinC=312sin3=3,a=csinAsinC=23.10如图所示,扇形AOB,圆心角AOB为60,半径为2,在弧AB上有一动点P.过P引平行于OB的直线交OA于点C,设AOP=,求POC面积的最大值及此时的值.解CPOB,CPO=POB=60-,OCP=120.在POC中,由正弦定理,得OPsinPCO=CPsin,CP=OPsinsinPCO=2sinsin120=43sin .又OCsin(60-)=2sin120,OC=43sin(60-),SPOC=12CPOCsin 120=1243sin 43sin(60-)32=233cos(2-60)-33.又060,当=30时,SPOC取得最大值33.