1、 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系 题型1 利用同角三角函数基本关系求值例1 如果 sin A35，且 A 为第一象限的角，试求角A 的余弦值和正切值解析：因为 sin A35，且 A 为第一象限的角，sin2Acos2A1，所以 cos A 1sin2A45，tan Asin Acos A34.点评：已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系另外也要注意“1”的代换，如“1sin2cos2”跟踪训练1已知cos，且是第四象限角，求sin，tan 的值解析：cos 35，sin21co
2、s21625，又 是第四象限角，sin 45，tan sin cos 43.题型2 有关弦化切的求值问题例 2 已知 sin 3cos 3sin 5cos 111，求下列各式的值：(1)tan；(2)3sin cos 2sin 3cos；(3)sin22cos2.分析：考查三角函数的求值问题本题(1)(2)中均为sin，cos 的齐次式，因此可由公式 tan sin cos 变形为 tan 的表达式，进而代入求解 解析：(1)显然 cos 0，将已知等式左边的分子、分母同除以 cos 得 sin 3cos 3sin 5cos tan 33tan 5，即tan 33tan 5 111，解得 ta
3、n 2.(2)tan 2，cos 0，将式子的分子、分母同除以 cos 得3sin cos 2sin 3cos 3tan 12tan 332122357.(3)tan 2，cos 0，将式子变形后的分子、分母同除以 cos2得 原式sin22cos2sin2cos2 tan22tan2122222125.点评：将 sin ，cos 的齐次式，变形为 tan 的表达式，这是一种常用的解题技巧，应该熟练掌握 跟踪训练2已知 tan 2，求下列各式的值：(1)sin cos sin cos ；(2)1sin2sin cos cos2.解析：(1)tan 2，cos 0，将式子的分子、分母同除以 co
4、s 得 sin cos sin cos tan 1tan 1 21213.(2)tan 2，cos 0，将式子变形后的分子、分母同除以 cos2得 原式sin2cos2sin2sin cos cos2 22122215.题型3 利用sin cos 与sin cos 之间 的关系求值 例 3 已知 sin cos a，求下列各式的值：(1)sin cos；(2)sin3cos3.分析：考查 sin cos 、sin cos 型问题的求解 解析：(1)将已知等式平方得 12sin cos a2，sin cos a212.(2)由于 sin3cos3(sin cos)(sin2sin cos cos
5、2)，且 sin cos a，sin cos a212，sin3cos3a1a21212a332a.点评：(1)由 sin cos 的值可求 sin cos 的值，反之亦然；(2)一般地，知 sin cos，sin cos 三式中一式的值，便可求另外两式的值跟踪训练3已知关于 x 的方程 2x2()31 xm0 的两根为 sin 和 cos，其中(0，2)，求：(1)sin2sin cos cos2cos sin 的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时 的值解析：(1)由根与系数的关系可知 sin cos 312，sin cos m2，则 sin2sin cos cos2cos sin
6、sin2cos2sin cos sin cos 312.(2)sin cos 312，平方得 12sin cos 2 32，且 sin cos m2，1m2 32，m 32.(3)当 m 32 时，原方程化为 2x2()31 x 320，解得 x1 32，x212.sin 32，cos 12或sin 12，cos 32.又(0，2)，3 或 6.题型4 化简与证明 例 4(1)化简：12sin 20cos 20；(2)求证：sin cos 1sin cos 11sin cos.(1)解析：12sin 20cos 20 sin220cos2202sin 20cos 20()sin 20cos 2
7、0 2|sin 20cos 20|cos 20sin 20.(2)证明：证法一 左边（sin cos 1）（sin cos 1）（sin cos 1）（sin cos 1）（sin 1）2cos2（sin cos）21 sin22sin 11sin212sin cos 1 2sin（1sin）2sin cos 1sin cos 右边 证法二 由 cos21sin2得 cos2(sin 1)(sin 1)，所以sin 1cos cos sin 1，由等比定理得 sin 1cos sin 1cos cos sin 1，所以，原式成立 证法三 左边右边所以，左边右边，原式成立 证法四 因为 sin
8、cos 10，cos 0，所以要证原式成立，只须证 cos(sin cos 1)(1sin)(sin cos 1)，即证 cos sin cos2cos sin cos 1sin2sin cos sin，即证cos21sin2.上式显然成立，所以原式成立 点评：(1)注意应用三角函数线比较大小得cos 20sin 20；(2)sin2cos21 及(sin cos)212sin cos 是常用的技巧 跟踪训练4求证：sin 1cos 1cos sin.分析：考查证明问题，可利用 sin2cos21.也可用作差变形求证 证明：证法一 sin2cos21，1cos2sin2，(1cos)(1cos)sin2，sin 1cos 1cos sin.证法二 sin2cos21，1cos2sin2，sin 1cos sin（1cos）（1cos）（1cos）sin（1cos）sin21cos sin.证法三 sin2cos21，1cos2sin2，sin 1cos 1cos sin sin2（1cos）（1cos）sin（1cos）.sin2cos21sin（1cos）11sin（1cos）0，sin 1cos 1cos sin.点评：(1)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明；(2)sin2cos21 是常用的技巧同时应注意正切化两弦