1、例析空间几何体的体积问题近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积、表面积。体积的计算，是定量研究几何体的重要内容与方法.对一些常用公式要牢记，包括柱体、锥体和球体的体积公式。下面给出一些典型例题希望对大家有帮助。一直接考查体积公式例1：养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为，高，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大（高不变）；二是高度增加 （底面直径不变）。（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方
2、案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？ 解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成,则仓库的体积如果按方案二，仓库的高变成，则仓库的体积（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成,半径为。 棱锥的母线长为则仓库的表面积如果按方案二，仓库的高变成。 棱锥的母线长为 则仓库的表面积（3） ， 练习：正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .解：如图，在OPA 中，因为 ，所以正四棱锥的高为 ，故正四棱锥的体积为 从而应填二 巧妙变形考查体积公式例2 将边长为的正方体沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为 解析：先作图如下： 对照平面图形（图1）和立体图形（图2）反复观察，不难发现，折叠前的
3、线段DO和BO，它们在折叠后的长度未变，仍为.由勾股定理不难算出DOB=90.折叠前与AC垂直的线段BD虽被折成两段，但与AC的垂直关系并没有改变，即DOAC.因此易知DO即为三棱锥的高，从而易求出三棱锥的体积点评：在研究空间几何体问题时，经常要进行一些图形变换，折叠（旋转）和展开就是两种常见的图形变换形式. 把平面图形按照一定的规则进行折叠（旋转），得到空间几何体，进而研究其性质，是一种常见的题型.解这类问题的关键是要分清折叠（旋转）前后的位置关系与数量关系的变与不变.练习如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，
4、那么V1V2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。三。创新考查空间几何体的体积知识例3.两相同的正四棱锥组成如图甲所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A. 1个B. 2个 C. 3个D. 无穷多个解：由于两个正四棱
5、锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。练习：如图3，在棱长为a的正方体中，EF是棱AB上的一条线段，且EFba，若Q是上的定点，P在上滑动，则四面体PQEF的体积（ ）（A)是变量且有最大值（B）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量分析：此题的解决
6、需要我们仔细分析图形的特点这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值再发现点Q到面PEF的距离也是定值因此，四面体PQEF的体积是定值我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题 练习：如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（A）V1=(B) V2=（C）V1 V2 （D）V1 V2【解析】设大球半径为 ，小球半径为 根据题意所以 于是即所以点评：数形结合方法是高考解题的锐利武器，应当很好掌物。v
