1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修4 第二章 平面向量成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 平面向量 第二章 第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 章末归纳总结第二章 第二章 平面向量成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 专 题 突 破 2知 识 结 构 1第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 知 识 结 构第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 第
2、二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 专 题 突 破第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 专题一 有关向量的共线问题已知 a(1,2)，b(3,2)若 ka2b 与 2a4b 平行，求实数 k 的值探究 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握两向量共线的条件解析 ka2bk(1,2)2(3,2)(k6,2k4)，2a4b2(1,2)4(3,2)(14，4)，ka2b 与 2a4b 平行，(k6)(4)(2k4)140.解得 k1.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 点拨 运用了
3、向量共线的坐标表达式a(x1，y1)与b(x2，y2)共线x1y2x2y10.本题还可用向量a与b共线|ab|a|b|，同学们不妨试一下第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 专题二 有关向量的夹角、垂直问题向量 e1、e2 是夹角为 60的两个单位向量，求向量a2e1e2 与 b3e12e2 的夹角探究 求向量的夹角，我们很容易想到运用夹角公式 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 解析 ab(2e1e2)(3e12e2)6e214e1e23e1e22e
4、226e1e224|e1|e2|cos6072，|a|2e1e2 2e1e22 4e21e224e1e2 54cos60 7，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4|b|3e12e2|3e12e22 9e214e2212e1e2 1312cos60 7.夹角 满足 cos ab|a|b|727 712.向量 a 与 b 的夹角为 120.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 点拨 本题易犯的三点错误：(1)求 a2e1e2 或 b3e12e2 的模时，错认为|a|2212或|b|3222，这是因为 e1 与 e2 不是互
5、相垂直的单位向量，所以(2,1)或(3,2)不是 a 或 b 的坐标，要将其转化成模的平方(2)求数量积 e1e2 时极易漏掉 cos，应为 e1e2|e1|e2|cos(为 e1 与 e2 的夹角)(3)若应用三角形法则或平行四边形法则求向量模时极易找错向量间的夹角注意找两向量夹角时两向量必须有共同起点第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 已知 O 为平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共 线 的 三 个 动 点，点 P 满 足 OP OB OC2(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)，(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A重心 B
6、外心C垂心D内心第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 解题提示 本题的关键在于式子变形后，转化为数量积的形式解析 设线段 BC 的中点为 D，则OB OC2OD.OP OD(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)，OP OD DP(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 DP BC(ABBC|AB|cosB ACBC|AC|cosC)(|AB|BC|cosB|AB|cosB|AC|BC|cosC|AC|cosC)0，DPBC，点 P 的轨迹一定通过ABC 的外心，故选 B答案
7、 B第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 专题三 向量的长度(模)与距离的问题向量的模，即向量的大小，用来表示向量的有向线段的长度，向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点，一般地，求向量的模主要利用公式|a|2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|x2y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 已知|a|3，|b|4，求|ab|的取值范围解题提示 向量模的范围可以转化为向
8、量不等式或者利用数量积形式处理第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 解析 解法 1：|a|b|ab|a|b|，1|ab|7.即|ab|的取值范围是1,7解法 2：|ab|2a2b22aba2b22|a|b|cos2524cos，为两向量 a、b 的夹角，0，|ab|21,49|ab|1,7第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 点拨 运用向量不等式|a|b|ab|a|b|，注意等号成立的条件；解法2将模平方，这是处理向量的模的问题的基本方法，也是最常用的方法，并且平方之后往往涉及到数量积的运算第二章 章末归纳总结成才之路
9、 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 如下图所示，在ABC 内求一点 P 使 AP2BP2CP2 最小解题提示 本题可根据平面向量基本定理，用基底表示AP 2，BP 2，CP 2，进而转化为二次函数求最值第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 解析 解法 1：设ABa，ACb，APt，则BPAPABta，CPAPACtbAP 2BP 2CP 2t2(ta)2(tb)23t22(ab)ta2b23(tab3)223(a2b2)23ab23(a2b2)23ab 为常数，当 tab3，即APab3，点 P 为ABC 的重心时，AP2BP2CP2 最小第二
10、章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 解法 2：设点 O 为平面内任一点，OA a，OB b，OC c，OP t，则APOP OA tA同理，BPtb，CPtcAP2BP2CP2AP 2BP 2CP 2(ta)2(tb)2(tc)23(tabc3)2a2b2c2abc23.a2b2c2a2b2c23是常数，当 tabc3时，AP2BP2CP2 最小，此时 P 为ABC的重心第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 专题四 数形结合思想数形结合思想：向量本身既具有大小，又具有方向，可以用几何法表示，而向量又有良好的运算性质坐标运
11、算，可把向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”的两方面特征处理两直线平行、垂直、三点共线等问题是几何问题，但可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向量的数量积处理线段的长度、角度等问题第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 已知非零向量 a，b，且|a|b|ab|.求：(1)a，b 的夹角；(2)b，ab 的夹角解析 设OA a，OB b，以 OA 与 OB 的邻边作平行四边形 OACB，如下图，由|a|b|ab|知，OACB 是菱形，且OAC与OBC 都是正三角形，则第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必
12、修4 (1)AOBAOCBOC120，a，b 的夹角为 120.(2)AOB120，OABOBA30.BAab，OB，BA的夹角为 18030150，即 b，ab 的夹角为 150.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 点评 本题以a，b为邻边作平行四边形，由于这两条邻边的长度相等，故图形为菱形；又对角线CO的长度与平行四边形的边长相等，就构造出来两个正三角形，位应注意b，ab的夹角不是30，而是150.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 专题五 平面向量的综合应用1平面向量的综合应用主要涉及在平面几何、解析几何与物
13、理中的应用，重点是在平面几何中的应用2解决此类问题的关键是分析问题将问题转化为向量问题，利用向量的有关运算去解决问题第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 在某海滨城市 O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南(0，2)方向 300 km 的海南 P 处，并以 20 km 的速度向西偏北 45方向移动当前半径为 60 km，并以10 km/h 的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(45)45，cos 210第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 解析 设 t 小时后，
14、台风中心移动到 Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，OPQ45，OQ OP PQ，OQ 2(OP PQ)2，OP 2PQ 22OP PQ，OQ 2OP 2PQ 22|OP|第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4|PQ|cos180(45)OP 2PQ 22|OP|PQ|cos(45)3002(20t)2230020t45100(4t296t900)依题意得OQ 2(6010t)2，解之得 12t24，从而 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 必修4 点评 用向量观点解题，关键在于找到好的切入点，如果题中的速度(既有大小，又有方向)、距离都可以用向量很好地表达根据台风中心与城市间的距离不超过台风侵袭的半径来建立向量不等式，再根据模长公式，求出时间