1、5.4平面向量的应用1用向量方法解决几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量的符号形式及图形形式的重要结论(1)向量的和与差的模：_，_.(2)G为ABC重心的一个充要条件： _；O为ABC外心的一个充要条件： _；P为ABC垂心的一个充要条件： _.(3)不同的三点A，B，C共线存在，R，使得，O为平面任意一点，且_3向量坐标形式的几个重要结论设a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x
2、4，y4)，为a与b的夹角(1)长度或模_；_.(2)夹角cos_.(3)位置关系ab_(b0且R)_.ab_.自查自纠2(1)(2)0(3)13(1)(2)(3)abx1y2x2y10ab0x1x2y1y20 一艘船从点A出发以4 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船在水流的作用下实际行驶的速度为8 km/h，则江水的流速的大小为()A2 km/h B4 km/hC3 km/h D. km/h解：由向量加法的平行四边形法则及勾股定理知B正确，故选B. 已知向量a(1，sin)，b(1，cos)，则的最大值为()A1 B. C. D2解：a(1，sin)，b(1，cos)，ab(0，si
3、ncos)，.|ab|的最大值为.故选B. 设a，b是非零向量，若函数f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有()Aab BabC|a|b| D|a|b|解：f(x)(ab)x2(a2b2)xab.依题意知f(x)的图象是一条直线，ab0，即ab.故选A. 已知三个力f1(2，1)，f2(3，2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4_.解：由物理知识知：f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(1，2)故填(1，2) ()如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则_.解：，2，设与的夹角为，则60，cos60，()(2)2221112.
4、故填.类型一向量与函数、三角函数(1)()已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A. B.C. D.解：设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx，f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24ab0，ab，又|a|2|b|0，cos，即cos，又0，.故选C.(2)若函数yAsin(x)(A0，0，|0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若0，则函数f(x1)是()A周期为4的奇函数B周期为4的偶函数C周期为2的奇函数
5、D周期为2的偶函数解：由题图可得A，B，由0得30，又0，f(x)sinx，f(x1)sincosx，它是周期为4的偶函数故选B.(3)()已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.()若|ab|，求证：ab；()设c(0，1)，若abc，求，的值解：()证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22，又因为a2b2|a|2|b|21.所以22ab2，即ab0，故ab.()因为ab(coscos，sinsin)(0，1)，所以即 两边分别平方再相加得122sin，sin，sin，又0，.类型二向量与解析几何若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，
6、则的最大值为()A2 B3 C6 D8解：由题意，F(1，0)，设P(x0，y0)，则有1，解得y3，因为(x01，y0)，(x0，y0)，所以x0(x01)yxx03x03，对应的抛物线的对称轴为x02，因为2x02，故当x02时，取得最大值236，故选C.【点拨】向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归思想的运用(1)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为()Ay28x B
7、y24xCy216x Dy24x解：如图，F为线段AB的中点，AFAC，ABC30，由48得BC4，则AC4.由中位线性质有pAC2，故抛物线的方程为y24x.故选B.(2)()在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_解法一：设D(x，y)，由|1，得(x3)2y21，向量(x1，y)，故|的最大值为圆C：(x3)2y21的圆心(3，0)到点(1，)的距离加上圆C的半径，即11.解法二：动点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，可设D的坐标为(3cos，sin)，则(2cos，sin)|.其中tan，当sin()1时，|的取值最大值为
8、1.故填1.类型三向量在物理中的简单应用在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_解：如图所示，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知|，|25.，所以在RtAOD中，ADO30，从而BOD30，即航向为北偏西30.故填北偏西30.【点拨】在使用向量解决物理问题的一般步骤：(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释一质点受到平面上的三个力F1，
9、F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_解：F1F2F3，41622428，2.故填2.1充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用2利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题3向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；向量的数量积；向量平行、垂
10、直的充要条件；向量的模、夹角等4注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等5应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的性质解决相应的问题如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题1一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸
11、，则()A.C. D.解：设vv1v2，则vv2，易知三向量v1，v2，v的模构成以|v1|为斜边，|v2|、|v|为直角边的直角三角形故选B.2()已知在ABC中，|10，16，D为边BC的中点，则|等于()A6 B5 C4 D3解：在ABC中，由余弦定理可得AB2AC22|AB|AC|cosABC2，又|AB|AC|cosA16，所以AB2AC232100，AB2AC268.又D为边BC的中点，所以2，两边平方得4|2683236，解得|3.故选D.3()已知O是坐标原点，点A(2，1)，若点M(x，y)为平面区域内的一个动点，则的取值范围是()A1，0 B1，2 C0，1 D0，2解：2
12、xy，画出不等式组表示的平面区域如图所示平移直线y2x易知，当点M的坐标为(1，1)时，取最小值1，当点M的坐标为(0，2)时，取最大值2.故选B.4已知A，B，C是圆O：x2y2r2上三点，且，则等于()A0 B. C. D解：A，B，C是O上三点，|r (r0)，()()|2|20.故选A.5连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a(m，n)与向量b(1，1)的夹角为，则的概率是()A. B. C. D.解：mn0，a与b不共线，0cos1，故只需ab0即可又abm1n(1)mn，mn0.其概率为P.故选C.6()已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A
13、13 B15 C19 D21解：以，的方向为x轴，y轴正方向建立直角坐标系，则A(0，0)，B，C(0，t)，表示与，同向的单位向量，(1，0)4(0，1)(1，4)，即P(1，4)，则(1，t4)1713，当且仅当4t，即t时取等号故选A.7已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于_解：a1a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，a1a2001，an是等差数列，S200100.故填100.8设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则的值为_解：设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)
14、，由于F(1，0)，则(x11，y1)，(x21，y2)，(x31，y3)，由0得x11x21x310，x1x2x33.则|(x11)(x21)(x31)x1x2x33336.故填6.9已知平面向量a(mx2，1)，b(m是常数)，且f(x).(1)若f(x)是奇函数，求m的值；(2)设函数g(x)f，讨论当实数m变化时，函数g(x)的零点个数解：(1)由题意知，abx，所以f(x)m.由题设，对任意的不为零的实数x，都有f(x)f(x)，即mm恒成立，所以m0.(2)由(1)知，g(x)m，则g(x)0x22mx40，4(m24)当m0时，g(x)的定义域为x|x0，g(x)x240无解；当
15、m0时，g(x)的定义域为，经检验，当0时，g(x)0的根在其定义域内，所以当m2或m2时，函数g(x)有两个零点；当m2时，函数g(x)有一个零点；当2m2时，函数g(x)没有零点10()已知平面向量a(4，5cos)，b(3，4tan)，ab，求：(1)|ab|；(2)cos的值解：(1)因为ab，所以ab435cos(4tan)0，解得sin.又因为，所以cos，tan，所以a(4，4)，b(3，3)，所以ab(7，1)，因此|ab|5.(2)coscoscossinsin.11已知抛物线yx2上两点A，B满足，0，其中，点P的坐标为(0，1)，O为坐标原点，求：(1)AOB的大小；(2)四边形OAMB的面积S的最小值解：(1)由，知A，P，B三点在同一直线上，设直线方程为ykx1，A(x1，x)，B(x2，x)，由得x2kx10.x1x2k，x1x21.x1x2xx1(1)20，AOB90.(2)由，知四边形OAMB是平行四边形又AOB90，四边形OAMB是矩形S|x1x2，k0时，Smin2. ()设向量ak(cos，sincos)(k0，1，2，12)，则(akak1)的值为_解：akak1(cos，sincos)cossincoscossincoscossincos.利用诱导公式及倒序相加法易得0， 0，故akak1129.故填9.