1、32古典概型32.1古典概型目标 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；3.掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法重点 古典概型的概率及其概率计算难点 应用列举法求古典概型的概率知识点一 基本事件 填一填1基本事件的定义在一次试验中，列举出试验完成可能发生并且不能再细分的随机事件；其他事件(不可能事件除外)都可以用它们来表示这样的随机事件叫这个试验的基本事件2基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和答一答1基本事件是最简单的随机事件吗？提示：基本事件是试验中不能再分的最简单
2、的随机事件知识点二 古典概型 填一填1古典概型的特点试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等2古典概型的概率公式对任何事件A，P(A).答一答2在区间2 013,2 014上任取一个实数的试验，是不是古典概型？提示：不是，因为在区间2 013,2 014上任取一个实数，是无限的不符合试验结果有有限个的古典概型特点3掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？提示：不是因为骰子不均匀，所以每个基本事件出现的可能性不相等，不满足特点.4如何用集合的观点理解古典概型的概率公式？提示：在一次试验中，等可能出现的n个结果可以组成一个集合I，这n个
3、结果就是集合I的n个元素各个基本事件都对应着集合I的只含1个元素的子集，包含m个结果的事件A就对应着集合I的包含m个元素的子集A.从集合的角度看，如图所示，事件A的概率就是子集A的元素个数card(A)与集合I的元素个数card(I)之比，即P(A).类型一 古典概型的判断 例1判断下列试验是否为古典概型：(1)在数学的标准化考试中，选择题都是单选题，一般从A，B，C，D四个选项中选择一个正确的答案若一位考生碰到一道题，他能肯定地排除一个选项，他必须从其他的三个选项中选出正确的答案；(2)连续投掷一枚硬币两次基本事件为：两次都是正面朝上，一次正面朝上一次反面朝上，一次反面朝上一次正面朝上，两次
4、都是反面朝上；(3)同时投掷两枚完全相同的骰子，所有可能的结果记为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)共21个基本事件解(1)不是，因为四个选项被选出的概率不同被排除的选项被选取的概率为0，另外三个选项被选取的概率为；(2)是；(3)不是，因为构造的21个事件不是等可能事件，如事件(1,1)，(1,2)的概率分别为，.判断一个试验是否是古典概型必须满足两个条件：试验中所有可能出现的
5、基本事件是有限个；每个基本事件发生的可能性相等，两个条件缺一不可，特别是第二个条件很容易被忽视.变式训练1一个长为2 m，宽为1 m的纱窗，由于某种原因，纱窗上有一个半径为10 cm的小孔，现随机向纱窗投一粒沙子，求小沙子恰好从孔中飞出的概率，问此试验是否属于古典概型，为什么？解：不是古典概型，原因是随机向纱窗投一粒沙子，沙子可以击在纱窗的任一位置，试验结果有无限多种可能，不满足古典概型的条件，即不满足试验的可能结果是有限的故不是古典概型类型二 简单的古典概型的问题 例2有编号为A1，A2，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A1
6、0直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间1.48,1.52内的零件为一等品(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件，用零件的编号列出所有可能的抽取结果；求这2个零件直径相等的概率解(1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A).(2)一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，所有可能的结果有：A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A
7、2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事件B，则B包含的基本事件有A1，A4，A1，A6，A4，A6，A2，A3，A2，A5，A3，A5，共6种，P(B).根据古典概型概率公式P(A)进行解题变式训练2抛掷两颗骰子，求点数之和大于或等于9的概率解：将抛掷两颗骰子的所有结果列表如下：可知基本事件共有6636个记“点数之和大于或等于9”的事件为A，则从表中可以得出，事件A包含的基本事件有10个，即(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5
8、)，(6,6)，故P(A).类型三 较复杂的古典概型问题 例3某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解用数对(x，y)表示儿童两次转动转盘记录的数，其活动记录与奖励情况如下：显然，基本事件总数为16.(1)xy3情况有5种，所以小亮获得玩具的概率.(2)
9、xy8情况有6种，所以获得水杯的概率.所以小亮获得饮料的概率1，即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件变式训练3某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等
10、于5中二等奖，等于4或3中三等奖(1)求中三等奖的概率(2)求中奖的概率解：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A).(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球
11、号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)；两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)则中奖概率为P(B).1下列不是古典概型的是(C)A从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C近三天中有一天降雨的概率D10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：C中每种结果出现的可能性不相等，故选C.2从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(B)A. B.C. D.解析：5个点中任取2个点共有10种方法，若2个点之间的距离小于边长，则这2个点中必须有1个为中心点，有4种方法，于是所求
12、概率P.故选B.3若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为.解析：甲、乙、丙三人随机地站成一排有6种方法：甲乙丙、甲丙乙、乙丙甲、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲，其中甲、乙相邻的有4种故所求概率P.4将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现一次正面的概率是.解析：先后抛掷一枚硬币的所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共四个基本事件，“恰好出现一次正面”包含2个基本事件，P.5某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学
13、校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的2所学校均为小学的概率解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种所以P(B).本课须掌握的两大问题1基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件彼此互斥试验中的事件A可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的2求某个随机事件包含的基本事件数是求古典概型概率的基础和关键应做到不重不漏，常用方法有列举法、列表法、画树状图等