1、第一节函数及其表示热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，与不等式结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法，尤其对分段函数的求值、求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现，属于中、低档题.本节通过对函数的概念及其表示方法、分段函数的理解及应用考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第8页知识点一函数的基本概念1函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A
2、B为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.2函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域3函数的三要素：定义域、值域和对应关系4表示函数的常用方法：列表法、图象法和解析式法 温馨提醒 函数问题允许多对一，但不允许一对多与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点1(多选题)下列图象中，能表示函数的图象的是()解析：显然，对于选项D，当x取一个正值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义答案：ABC2函数f(x)的定义域为()A0,2)B(2，)C0,2)(2，)
3、D(，2)(2，)答案：C知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 温馨提醒 二级结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数必明易错1求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域2分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论1若函数f(x)则ff(1)的值为()A10 B
4、10 C2 D2答案：C2(易错题)设函数f(x)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为_答案：(，20,103已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于_答案：3授课提示：对应学生用书第9页题型一函数的定义域自主探究1已知函数yf(x21)的定义域为， ，则函数yf(x)的定义域为_答案：1,22若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是_解析：因为函数y的定义域为R，所以mx24mx30，所以m0或即m0或0m，所以实数m的取值范围是.答案：求函数f(x)的定义域时，要使解析式有意义具体如下：(1)分式中，分母不为0；(2)偶次方根中，被开方数非负；(3)对于yx0，要求x0，
5、负指数的底数不为0.题型二函数解析式的求法自主探究求下列函数的解析式：(1)已知f(1sin x)cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx4，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(4)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求f(x)的解析式解析：(1)(换元法)设1sin xt，t0,2，则sin x1t，因为f(1sin x)cos2x1sin2x，所以f(t)1(1t)22tt2，t0,2即f(x)2xx2，x0,2(2)(配凑法)因为f22，所以f(x)x22，x2，)(3)(待定系数
6、法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)，所以3a(x1)b2a(x1)b2x17.即ax(5ab)2x17，因此应有解得故f(x)的解析式是f(x)2x7.(4)(方程组法)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1).又x(1,1)，以x代替x得2f(x)f(x)lg(x1).由消去f(x)得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)题型三分段函数多维探究高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题.考法(一)分段函数求值问题例1(1)已知
7、函数f(x)则f(1)的值为()A1B2C3D4(2)若函数f(x)则f(f(9)_.答案(1)C(2)2求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的取值选择相应段的解析式求解，有时各段交替使用求值考法(二)求参数值问题例2(1)(2021安庆模拟)已知函数f(x)若实数a满足f(a)f(a1)，则f()A2B4C6D8(2)设函数f(x)若f(m)3，则实数m的值为_解析(1)由题意得a0且1a10，即0a1，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，则ff(4)8.(2)当m2时，由m213，得m24，解得m2；当0m2时，由log2m3，解得m238(舍去)综上所述，m2.答案(1)D(2)2求
8、自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应段上自变量的值，切记要代入检验题组突破1已知函数f(x)则f(f(1)()AB2C4D11答案：C2已知函数f(x)若f(f(0)3a，则实数a等于()A.B4C2D9答案：C函数概念中的核心素养(一)数学抽象函数的新定义问题解决与函数有关的新定义问题(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件
9、，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x，y取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的例1(多选题)(2021深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数给出下列函数：其中是一阶整点函数的是()Af(x)sin 2x Bg(x)x3Ch(x)x D(x)ln x.解析对于函数f(x)sin 2
10、x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，所以它不是一阶整点函数，(只要找到两个整点，即可判断函数不是一阶整点函数)；对于函数h(x)x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(1,3)，所以它不是一阶整点函数对y(x)ln x是一阶整点函数，故选AD.答案AD本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解(二)数学运算分类讨论思想在分段函数中的应用例2设函数f(x)则满足f(x)f
11、1的x的取值范围是_答案解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量的取值范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，即应用分类讨论思想解决题组突破1(多选题)(2021山东菏泽一中月考)设函数f(x)的定义域为D，xD，yD，使得f(y)f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是()Af(x)x2Bf(x)Cf(x)ln(2x3)Df(x)2x3解析：函数f(x)的定义域为D，xD，yD，使得f(y)f(x)成立，所以函数f(x)的值域关于原点对称对于选项A，函数f(x)x2的值域为0，)，不关于原点对称，不符合题意；对于选项B，函数f(x)的值域为(，0)(0，)，关于原点对称，符合题意；对于选项C，函数f(x)ln(2x3)的值域为R，关于原点对称，符合题意；对于选项D，函数f(x)2x3的值域为R，关于原点对称，符合题意答案：BCD2设函数f(x)若f(x0)1，则x0的取值范围是_答案：(0,2)(3，)
