1、第六节正弦定理和余弦定理热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，该节是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换等进行综合命题，既有选择题、填空题，也有解答题.本节通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模核心素养.授课提示：对应学生用书第76页知识点一正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2
2、)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C 温馨提醒 二级结论三角形中的常用结论(1)ABC，.(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.必明易错1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解3利用正、余弦定理
3、解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制1在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A.BC.D答案：C2(易错题)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，c，C，则A()A.B C.或D或答案：A3在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_答案：等腰三角形或直角三角形知识点二三角形的面积SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A.B C.D答案：C2在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积
4、等于_答案：2授课提示：对应学生用书第77页题型一利用正、余弦定理解三角形自主探究1在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2ac，且sin Csin B，则其最小内角的余弦值为()ABC.D答案：C2(多选题)(2021山东临沂模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2，c3，A3C，则下列结论正确的是()Acos CBsin BCa3DSABC解析：A3C，故B2C.根据正弦定理，得2sin C32sin Ccos C，又sin C0，故cos C，sin C，故A正确；sin Bsin 2C2sin Ccos C，故B错误；由余弦定理得c2a2b22abco
5、s C，将b2，c3代入得a24a30，解得a3或a1.若a3，则AC，且B，与sin B矛盾，故a1，故C错误；SABCabsin C12，故D正确答案：AD3(2020新高考全国卷)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分解析：选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由ac，解得a，bc1.因此，选条件时问题中的
6、三角形存在，此时c1.选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc，BC，A.由csin A3，所以cb2，a6.因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c2.选条件.由C和余弦定理得.由sin Asin B及正弦定理得ab.于是，由此可得bc.由cb，与bc矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在.应用正、余弦定理的解题技巧技巧解读适合题型边化角将表达式中的边利用公式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C化为角的关系等式两边是边的齐次形式角化边将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化，出现角的余弦值用余弦定理转化等式两边是
7、角的齐次形式，比如a2b2c2ab形式和积互化a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边出现bc，bc等结构形式题型二利用正、余弦定理判断三角形形状合作探究例(2021秦皇岛模拟)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos Bacos Cbc，则ABC的形状为()A等边三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形解析法一：由余弦定理及已知得aabc，所以a2bc2bb3a2cb2cc32b2c2bc2，得b2c2a2，故A90，所以ABC为直角三角形法二：因为acos Bacos Cbc，由正弦定理得sin Acos
8、 Bsin Acos Csin Bsin C，即sin Acos Bsin Acos Csin(AC)sin(AB)，化简得cos A(sin Bsin C)0，在ABC中，sin Bsin C0，则cos A0，所以ABC为直角三角形答案D判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论对点训练在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D直角三角形或等腰三
9、角形答案：D题型三与三角形面积有关的问题合作探究 例(2020高考全国卷)ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B150.(1)若ac，b2，求ABC的面积；(2)若sin Asin C，求C.解析(1)由题设及余弦定理，得283c2c22c2cos 150，解得c2(舍去)或c2，从而a2.因此ABC的面积为22sin 150.(2)在ABC中，A180BC30C，所以sin Asin Csin(30C)sin Csin(30C)，故sin(30C).而0C30，所以3030C60，所以30C45，故C15.求解与三角形面积有关的问题的步骤对点训练(2020高考北京卷)在ABC
10、中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分解析：选条件.(1)由余弦定理a2b2c22bccos A，b11a，c7，得a2(11a)2492(11a)7，a8.(2)cos A，A(0，)，sin A.由正弦定理，得sin C，由(1)知b11a3，SABCabsin C836.选条件.(1)cos A，A，sin A.cos B，B，sin B.由正弦定理，得，a6.(2)sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos
11、 Bcos Asin B.ab11，a6，b5.SABCabsin C65.正弦定理、余弦定理应用中的核心素养数学运算解平面图形问题例(2020高考全国卷)如图，在平面四边形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面积为，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的长解析(1)因为ABD的面积SADABsinDAB23sinDAB，所以sinDAB.又0DAB，所以DAB，所以cosDABcos .由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)因为ABBC，所以ABC，sinDBCsincosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DCBCco
12、sDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的长为.求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“ABBC”，将已知条件和第(1)问中所求值转化为BCD内的边角关系解决平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根据条件类型选用相应的定理求解如该题中，把条件转化到BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长.对点训练(2021八省联考模拟卷)在四边形ABCD中，ABCD，ADCDBD1.(1)若AB，求BC；(2)若AB2BC，求cosBDC.解析：(1)在ABD中，由余弦定理可得cosABD.CDAB，BDCABD，在BCD中，由余弦定理可得BC2BD2CD22BDCDcosBDC，BC.(2)设BCx，则AB2x，在ABD中，cosABDx，在BCD中，cosBDC，由(1)可知，BDCABD，所以cosBDCcosABD，即x，整理可得x22x20，因为x0，解得x1，因此，cosBDCcosABDx1.