1、平邑一中高三二轮复习第八次调研测试数学一、单项选择题1.已知集合U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，则AUB（）A. 1，4B. 1，4，5C. 4，5D. 6，7【答案】C【解析】【分析】根据补集与交集的定义，计算即可【详解】集合U1，2，3，4，5，6，7，B2，3，6，7，所以UB1，4，5，又A2，3，4，5，所以AUB4，5故选：C【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，基础题2.若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数的值可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算化简，根据在复平面内对应的点在第二象限列不等式组，
2、解不等式组求得的取值范围，由此确定正确选项.【详解】依题意，由于在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，故的值可以是.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，复数对应点所在象限，属于基础题.3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A. 甲是律师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是律师C. 甲是医生，乙是律师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是律师【答案】C【解析】【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.【详解】由
3、甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生故选：C.【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题.4.以抛物线的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，圆与E的准线相切，则，故圆方程为：.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的焦点和准线，圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
4、5.设函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）excosx，则不等式f（2x1）+f（x2）0的解集为( )A. （，1）B. （，）C. （，+）D. （1，+）【答案】D【解析】【分析】由函数的解析式求出其导数，分析可得f（x）在0，+）上为增函数，结合函数的奇偶性分析可得f（x）在R上为增函数，据此可得原不等式等价于2x12x，解出x的取值范围，即可得答案【详解】由题知，当x0时，f（x）excosx，此时有ex+sinx0，则f（x）在0，+）上为增函数，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间（，0上也为增函数，故f（x）在R上为增函数.由f（2x1）+f（x2）0，可得f（2x1）
5、f（x2），而函数f（x）为奇函数，可得到f（2x1）f（2x），又f（x）在R上为增函数，有2x12x，解得x1，即不等式的解集为（1，+）.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题6.周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( )A.
6、 94B. 95C. 96D. 98【答案】B【解析】【分析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m90，100，由题可得n+（n+1）+（n+2）+（n+18）+m19n+171+m1520，解出n的取值范围，根据年龄为整数可得n的取值范围，再代入可得m的值【详解】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m90,100，则有n+（n+1）+（n+2）+（n+18）+m19n+171+m1520，则有19n+m1349，则m134919n，所以90134919n100，解得，因为年龄为整数，所以n66，则m1349196695.故选：B【点晴】本题
7、考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题7.在四面体ABCD中，ABC和BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】易得出ABACBCBDCD1，ABDACD90，设球心为O，则OBOCOD，BOAD，BOOC，从而BO平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积【详解】在四面体ABCD中，ABC和BCD均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点，ABACBCBDCD1，ABDACD90
8、，OBOCOD，BOAD，BOOC，BO平面ACD，四面体ABCD的体积为：VBACD故选：B【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题8.已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BFOA，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】设双曲线的半焦距为c，利用题设条件分别求出A、B的坐标，再利用得到a与c的关系式，即可求出离心率【详解】如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：y，则
9、点F（c，0），A（c，），设点B（x0，），BFOA，即，解得：x0，所以，又，0，即a23b2c2a2+b2，a23（c2a2），即3c24a2，所以离心率e故选：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了求双曲线的离心率，考查了平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题二、多项选择题9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤比全球人均粮食产量高了约250斤如图是中国国家统计局网站中20102019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在20102019年中（ ）A. 我国粮食年产量与年末总人口均
10、逐年递增B. 2011年我国粮食年产量的年增长率最大C. 2015年2019年我国粮食年产量相对稳定D. 2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰【答案】BCD【解析】【分析】仔细观察20102019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，利用条形图中的数据直接求解【详解】由中国国家统计局网站中20102019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A错误；对于B，由粮食产量条形图得2011年
11、我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B正确；对于C，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C正确；对于D，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D正确故选：BCD【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题10.若，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由函数在上为增函数可判断选项A错误；由函数在上为增函数可判断选项B正确；由与1的大小关系不确定可判断选项C错误；由，而可判断选项D正确【详解】由函数在上为增函数可知，当时，故选项A错误；由函数在上为增函数可知，当时，即，故选项B
12、正确；由于，则，但不确定与1的大小关系，故与0的大小关系不确定，故选项C错误；由可知，而，则，故选项D正确故选：BD【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用函数的单调性比较大小，考查了指数函数、对数函数的性质，属于基础题.11.在单位圆上任取一点，圆与轴正向的交点是，设将绕原点旋转到所成的角为，记关于的表达式分别为，则下列说法正确的是（ ）A. 是偶函数，是奇函数B. 在为增函数，在为减函数C. 对于恒成立D. 函数对于恒成立【答案】AC【解析】【分析】根据题意求得和的表达式，结合函数的奇偶性、单调性和值域，判断出正确选项.【详解】依题意.所以：是偶函数，是奇函数，A选项正确在先增后减，在为
13、增函数，所以B选项错误.，所以C选项正确.，所以D选项错误故选：AC【点睛】本小题主要考查三角函数的定义、奇偶性、单调性和值域，属于中档题.12.如图，平面平面l，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是（）A. 若ABCD，则MNlB. 若M，N重合，则AClC. 若AB与CD相交，且ACl，则BD可以与l相交D. 若AB与CD是异面直线，则MN不可能与l平行【答案】BD【解析】【分析】由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定、；用反证法证明【详解】解：若，则、四点共面，当时，平面、两两相交
14、有三条交线，分别为、，则三条交线交于一点，则与平面交于点，与不平行，故错误；若，两点重合，则，、四点共面，平面、两两相交有三条交线，分别为、，由，得，故正确；若与相交，确定平面，平面、两两相交有三条交线，分别为、，由，得，故错误；当，是异面直线时，如图，连接，取中点，连接，则，则，假设，又，平面，同理可得，平面，则，与平面平面矛盾假设错误，不可能与平行，故正确故选：【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题三、填空题13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，则物体的重力大小为_
15、N.【答案】20【解析】【分析】根据力的平衡有,两边平方后可求出.【详解】由题意知.的夹角为.所以.所以.所以.故答案为:20.【点睛】向量的数量积的两个应用：(1)计算长度或模长，通常用 ；(2)计算夹角，.特别地，两非零向量 垂直的充要条件时.14.已知，则tan_【答案】3【解析】分析】由题可知，所以，利用同角三角函数的平方关系可求得其值，再采用拼凑角的方法，并结合正弦的两角和公式求出其值，再一次利用平方关系，求出的值，最后利用商数关系即可得解【详解】解：，且，故答案为：3【点睛】本题考查三角恒等变换的混合运算，观察角之间的联系，使用拼、凑角是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题1
16、5.植树造林，绿化祖国某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先选四个位置上的重复树苗有种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种，四个位置，有且仅有一种树苗重复，有种选法；在四个位置上种植有种方法，则由乘法原理得种方法故答案为：36【点睛】本题考查排列
17、组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算属于中档题16.已知函数则x1，e时，f（x）的最小值为_；设g（x）f（x）2f（x）+a若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是_【答案】 (1). 4 (2). （0，）【解析】【分析】根据各段函数单调性分别求出各段的最小值或者下确界，即可求出，时，的最小值；令，根据题意再结合函数的图象，以及的图象即可求出实数的取值范围【详解】解：当，时，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为，当，时，则时，（舍或0，且有在上单调递增，在上单调递减，因为，故函数在，上的最小值为；令，即，作出函数的图象，如图所示：直线与函数的图象最多
18、只有三个交点，所以，即说明方程有两个内的不等根，亦即函数在内的图象与直线有两个交点，因为，根据的图象可知，即实数的取值范围为故答案为：；【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，以及根据函数的零点个数求参数范围，考查学生的转化能力和数形结合能力，属于较难题四、解答题17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）若，求b；（2）求ABC面积的最大值【答案】（1）2；（2）3【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理可求b的值；（2）由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，进而可求ABC面积的最大值【详解】解：（1），由正弦定理，可得（2），由余弦定理知，当且仅当取“”；面积的
19、最大值为【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式与三角形面积的计算问题，属于基础题18.已知数列为正项等比数列，；数列满足.（1）求；（2）求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先令和求出，从而得到公比，再求通项公式即可.（2）首先根据已知求出，再利用裂项求和即可得到答案.【详解】（1）令，得，所以，令，得，所以，又，所以，设数列的公比为，则，所以；（2）当时，又，因为，所以，时也成立，所以.，所以.【点睛】本题第一问考查等比数列的通项公式，第二问考查由前项和求通项，同时考查了裂项求和，属于中档题.19.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，
20、并作答ABBC，FC与平面ABCD所成的角为，ABC如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，且PAAB2，PD的中点为F（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_，求二面角FACD的余弦值【答案】（1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）设PC的中点为H，连结FH，由题意得AGHF为平行四边形，则AFGH，由此能证明在线段AB上存在中点G，使得AF平面PCG（2）选择ABBC，推导出AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴
21、，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FACD的余弦值选择FC与平面ABCD所成的角为，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FMPA，且FM1，FM平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为FCM，推导出AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FACD的余弦值选择ABC，推导出PABC，取BC中点E，连结AE，推导出 AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FACD的余弦值【详解】（1）在线段AB上存在中点G，使得AF平面PCG证
22、明如下：如图所示：设PC的中点为H，连结FH，因为，所以所以四边形AGHF为平行四边形，则AFGH，又GH平面PGC，AF平面PGC，AF平面PGC（2）选择ABBC：PA平面ABCD，PABC，由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，PAAB2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，2），（0，1，1），（2，1，1），设平面FAC的一个法向量为（x，y，z），取y1，得（1，1，1），平面ACD的一个法向量为（0，0，1），设二面角FACD的平面角为，则cos，二面角F
23、ACD的余弦值为选择FC与平面ABCD所成的角为：PA平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FMPA，且FM1，FM平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为FCM，在RtFCM中，CM，又CMAE，AE2+BE2AB2，BCAE，AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，PAAB2，A（ 0，0，0），B（ ，1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），（0，1，1），（，0，1），设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），则，取x，得（，3，3），平面ACD的一
24、个法向量为：（0，0，1），设二面角FACD的平面角为，则cos二面角FACD的余弦值为选择ABC：PA平面ABCD，PABC，取BC中点E，连结AE，底面ABCD是菱形，ABC60，ABC是正三角形，E是BC的中点，BCAE，AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，PAAB2，A（ 0，0，0），B（ ，1，0），C（，1，0），D（0，2，0），E（，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），（0，1，1），（，0，1），设平面EAC的一个法向量为（x，y，z），则，取x，得（，3，3），平面ACD的法向量（0，0，1），设二面角FACD
25、的平面角为，则cos二面角FACD的余弦值为【点睛】本题主要考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，还考查了运算求解能力、逻辑推理能力，属于中档题20.已知函数f（x），（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：a1时，f（x）+g（x）（1）lnxe【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对求导后，再对a分类讨论即可得出函数的单调性（2）a1时，将所证不等式转化为exex+1，令F（x）exex+1，G（x），分别根据导数求出的最小值和的最大值即可证明不等式成立.【详解】（1）f（x）alnx，（x（0
26、，+）当a0时，0，函数f（x）在x（0，+）上单调递减a0时，由，得，由，得所以函数在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增（2）证明：a1时，要证f（x）+g（x）（1）lnxe即要证：lnxe0exex+1x（0，+）令F（x）exex+1，F（x）exe，当x（0，1）时，F（x）0，此时函数F（x）单调递减；当x（1，+）时，F（x）0，此时函数F（x）单调递增可得x1时，函数F（x）取得最小值，F（1）1令G（x），G（x），当时，此时为增函数，当时。，此时为减函数所以xe时，函数G（x）取得最大值，G（e）1x1与xe不同时取得，因此F（x）G（x），即exex+1x（0，+）
27、故原不等式成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了利用导数证明不等式，属于中档题21.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表 年份20152016201720182019编号12345企业总数量y（单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224注：参考数据（其中zlny）附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的最小二
28、乘法估计公式为（1）根据表中数据判断，ya+bx与ycedx（其中e2.71828，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的
29、概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？【答案】（1）选ycedx；（2）；（3）甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大【解析】【分析】（1）直接由表中数据可得选择回归方程ycedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对ycedx两边取自然对数，得lnylnc+dx，转化为线性回归方程求解；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛，由已知结合互斥事件与相互独立事件的概率计算公式分别求得甲公司获得“优胜公司”的概率得结论【详解】（1）选择回归方程
30、ycedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对ycedx两边取自然对数，得lnylnc+dx，令zlny，alnc，bd，得za+bx由于，0.752，z关于x的回归方程为，则y关于x的回归方程为；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，则甲公司获胜的概率分别是：P（A）；P（B）；P（C）由于，甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，互斥事件与相互独立事件概率的求法，还考查了分析问题运算求解的能力，属于中档题22
31、.已知椭圆过点，分别为椭圆C的左、右焦点且.（1）求椭圆C方程；（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.（i）当面积最大时，求的方程；（ii）求证：，并判断，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析，不可能构成等比数列.【解析】【分析】（1）设，.求出的坐标，根据，求出.把点代入椭圆方程，结合，求出，即得椭圆C的方程；（2）（i）设方程为，.把直线的方程代入椭圆方程，由韦达定理、弦长公式求出.由点到直线的距离公式求出点P到的距离，则，根据基本不等式求
32、面积的最大值，即求的方程；（ii）要证结论成立，只须证明，即证直线为的平分线，转化成证明.又与C有一个公共点，即为椭圆的切线，可求，又.由题意，四个数按某种顺序成等比数列，推出矛盾，故不可能构成等比数列.【详解】（1）设，则，.，.又在椭圆上，故，又，解得，故所求方程为.（2）（i）由于，设方程为，.由，消y整理得，则.又点P到的距离,.当且仅当，即时，等号成立.故直线AB的方程为：.（）要证结论成立，只须证明：，由角平分线性质即证：直线为的平分线，转化成证明：.因为因此结论成立.又与C有一个公共点，即为椭圆的切线，由得令，则，所以，所以，故所研究的4条直线的斜率分别为，若这四个数成等比数列，且其公比记为q，则应有或，或.因为不成立，所以，而当时，此时直线PB与重合，不合题意，故，PA，PB的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式和等比数列等知识，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，综合性强，属于难题.