1、7.4基本不等式及其应用1如果a0，b0，那么 叫做这两个正数的算术平均数2如果a0，b0，那么 叫做这两个正数的几何平均数3重要不等式：a，bR，则a2b2 (当且仅当ab时取等号)4基本不等式：a0，b0，则 ，当且仅当ab时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数5求最小值：a0，b0，当ab为定值时，ab，a2b2有 ，即ab ，a2b2 .简记为：积定和最小6求最大值：a0，b0，当ab为定值时，ab有最大值，即 ，亦即 ；或a2b2为定值时，ab有最大值(a0，b0)，即 .简记为：和定积最大7拓展：若a0，b0时， ，当且仅当ab时等号成立自查自纠1.2.3.2ab
2、4.5最小值22ab6ab2ab(ab)2ab7. 设a，bR，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D2解：因为2a0，2b0，由基本不等式得2a2b224，当且仅当ab时取等号，故选B. ()已知向量m(2，1)，n(2b，a)(a0，b0)若mn，则ab的最大值为()A. B1 C2 D4解：依题意得2a2b，即2ab2(a0，b0)，22ab2，ab，当且仅当2ab1时取等号，ab的最大值是.故选A. 设f(x)lnx，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bqrp Cprq Dprq解：pf()ln，qfln，r(f(a)f
3、(b)lnabln，函数f(x)lnx在(0，)上单调递增，ff()qpr.故选C. ()若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_解：由xy1得x22y2x22，当且仅当x时等号成立故填2. ()已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则实数a_.解：f(x)4x24(x0，a0)，当且仅当4x，即x时等号成立，3，a36.故填36.类型一利用基本不等式求最值(1)函数y(x1)的值域为_解：x1，x10，令mx1，则m0，且ym5259，当且仅当m2时取等号，故ymin9.又当m或m0时，y，故原函数的值域是9，)故填9，)(2)()如果函数f(x)(m2)x2(n8)
4、x1(m0，n0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A16 B18 C25 D.解：当m2时，易得n80，n8，此时mn16.当m2时，抛物线的对称轴为x.据题意：当m2时，2，即2mn12.6，mn18.由2mn且2mn12得m3，n6.当m2时，抛物线开口向下，据题意：，m2n18.9，mn.由2nm且m2n18，得m92，故应舍去要使mn取得最大值，应有m2n18(8n9)此时mn(182n)n(1828)816.综合可得最大值为18.故选B.【点拨】(1)基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值(2)
5、本题要讨论抛物线的开口方向和对称轴，根据所给单调区间找到m、n满足的条件，再利用基本不等式求解(1)已知t0，则函数f(t)的最小值为 解：t0，f(t)t42，当且仅当t1时，f(t)min2，故填2.(2)已知x0，y0，且2x8yxy0，求：()xy的最小值；()xy的最小值解：()由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12，得xy64，当且仅当x4y，即x16，y4时等号成立()解法一：由2x8yxy0，得x，x0，y2，则xyy(y2)1018，当且仅当y2，即y6，x12时等号成立解法二：由2x8yxy0，得1，则xy(xy)1010218，当且仅当y6，x12时等号成立类型二利
6、用基本不等式求参数范围()已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为()A4 B16 C9 D3解：a0，b0，由0恒成立得m(3ab)10恒成立26，当且仅当ab时等号成立，故1016，m16，即m的最大值为16.故选B.【点拨】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min；(3)af(x)有解af(x)min；(4)af(x)有解af(x)max.已知函数f(x)exex，其中e是
7、自然对数的底数若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，则实数m的取值范围为_解：由条件知m(exex1)ex1在(0，)上恒成立令tex(x0)，则t1，且m对任意t1成立t11213，当且仅当t2，即xln2时等号成立故实数m的取值范围是.故填.类型三利用基本不等式解决实际问题()某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD60 m，AB40 m，且EFG中，EGF90，经测量得到AE10 m，EF20 m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线
8、分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DNx(m)(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积解：(1)作GHEF，垂足为H.DNx，NH40x，NA60x，AM.S五边形MBCDNS矩形ABCDSAMN4060AMAN2 400.N与F重合时，AMAF30适合条件，x(0，30(2)y2 4002 4005(40x)40，当且仅当40x，即x20(0，30时，y取得最大值2 000, 当DN20 m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m2.答略【点拨】建立关于x的函数关系式是解决本题
9、的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)?解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y，
10、其中k是比例系数且k0.依题意要使y最小，只需ab最大由题设得：4b2ab2a60(a0，b0)，即a2b30ab(a0，b0)a2b2，2ab30，得03.当且仅当a2b时取“”号，ab最大值为18，此时得a6，b3.故当a6 m，b3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少解法二：同解法一得b，代入y求解1要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：a2b2；ab；ab(ab)2；(ab)24ab；abc等对于以上各式，要明了其成立的条件和取“”的条件2在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑
11、常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值3基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值4求型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决5基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为
12、“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点1若a1，则a的最小值是()A2 Ba C3 D.解：a1，aa1121213，当且仅当a2时等号成立故选C.2()若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.解：x0，y0，4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，xy2，xy的最大值为2.故选C.3函数f(x)在(，2)上的最小值是()A0 B1 C2 D3解：当x2时，2x0，因此f(x)(2x)22，当且仅当2x时上式取等
13、号而此方程有解x1(，2)，因此f(x)在(，2)上的最小值为2，故选C.4小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv解：设甲、乙两地之间的距离为s.ab，v.又vaa0，va.故选A.5()已知a0，b0，ab2，则的最小值是()A. B4 C. D5解：依题意，得(ab)5，当且仅当 即时取等号，即的最小值是.故选C.6()若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72 C64 D74解：因为log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，且 即a0，b0，所以1(a0，b
14、0)，ab(ab)77274，当且仅当时取等号故选D.7()点(m，n)在直线xy1位于第一象限内的图象上运动，则log2mlog2n的最大值是_解：由条件知，m0，n0，mn1，mn，当且仅当mn时取等号，log2mlog2nlog2mnlog22.故填2.8()设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解：易知定点A(0，0)，B(1，3)且无论m取何值，两直线垂直所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P在以AB为直径的圆上)所以|PA|PB|(|PA|2|PB|2)5.当且仅当|PA|PB|
15、时，等号成立故填5.9(1)已知0x，求x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x2y3上移动，求2x4y的最小值解：(1)已知0x，03x4.x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时“”成立当x时，x(43x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x2y3上移动，所以x2y3.2x4y2224.当且仅当 即时“”成立当时，2x4y取最小值为4.10已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值解：a0，b0，2ab1，4a2b2(2ab)24ab14ab.且12ab2，即，ab，S24a2b22(14ab)24ab1.当且仅当a，b时，等号成立11如图，动物园
16、要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼的面积为S，则Sxy.解法一：由于2x3y22，218，得xy，即S.当且仅当2x3y时等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大解法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6.Sxyy(6y)y.0y6，6y0
17、.S.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.解法一：2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小解法二：由xy24，得x.l4x6y6y66248，当且仅当y，即y4时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小 ()如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树_米时，看A，B的视角最大解：问题转化为求A
18、BC中BCA的取值范围过点C作CDAB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CDx米，看A，B的视角最大，即BCA最大不妨设BCD，ACD，则BCA，且tan，tan，所以tan()，当且仅当x，即x6时取等号，此时BCA最大故填6.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1()已知集合Ax|y，B，则AB()A1，1 B1，2)C1，2) D2，1解：依题意，集合Ax|x1或x3，Bx|2x2，ABx|2x1故选D.2不等式2的解集是()A. B.C.(1，3 D.(1，3解：2002x25x30(x1)2x25x30(x1)x
19、3且x1.故选D.3()若f(x)是偶函数，且当x0，)时，f(x)x1，则不等式f(x21)0的解集为()A(1，0) B(，0)(0，)C(0，2) D(1，2)解：f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)|x|1.f(x21)|x21|1.解不等式|x21|10，得0x21)的最小值为()A4 B3 C3 D4解：函数ylog2(x1)log2(x16)log2log283，当且仅当x1，即x2时取得等号故选C.6()执行如图所示的程序框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为()A0 B1 C2 D3解：由程序框图知，当时，目标函数S2xy0，2，否则，S1.因此，输出的S的最大值
20、为2.故选C.7()若不等式x2ax20在区间1，5上有解，则实数a的取值范围是()A. B.C(1，) D.解法一：x1，5，不等式变形为ax，x1，5时，yx单调递减，y，要使不等式在1，5上有解，应有a.解法二：一元二次方程x2ax20的两根之积为2，两根一正一负对于二次函数yf(x)x2ax2，开口向上与x轴交点一正一负，y0，在区间1，5上有解，只需yf(5)0即可.525a20，a.故选A.8已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m()A2 B3 C4 D5解：显然m2，作出的可行域，当 时zxy的最小值为1，解得m5.故选D.9若直线axby20(a0，b0)被
21、圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B.C. D.2解：圆的直径是4，说明直线过圆心(1，2)，故ab1，(当且仅当a22，b2时等号成立)，故选C.10() 设函数f(x)sin，若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，) B(，4)(4，)C(，2)(2，) D(，1)(1，)解：函数f(x)的极值点满足k，即xm，kZ，且极值为，问题等价于存在k0使之满足不等式m234，解得m2或m0，y0，log2xlog2ylog2(xy)log2log24.故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知集合Ax
22、R|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_解：AxR|3x|5xq0，则提价多的方案是哪一种？解：设原价为a，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%)a，方案乙：a，1%(当且仅当pq时取等号)，pq0，1%，即(1p%)(1q%)aa，提价多的方案是方案乙答：提价多的方案是方案乙19(12分)(1)解不等式x1；(2)求函数y的最小值解：(1)x100 x3或1x1.此不等式的解集为x|x3或1x1(2)x，2x0，12x0，y2x(12x)1325，当且仅当x时，等号成立，即函数的最小值为25.20(12分)已知x，y满足约束条件 当目标函数zaxby(a0
23、，b0)在该约束条件下取到最小值2时，求a2b2的最小值解法一：不等式组表示的平面区域如图所示，由于0，所以目标函数在点A(2，1)处取得最小值，故2ab2，两端平方得4a2b24ab20，又4ab2a2ba24b2，所以204a2b2a24b25(a2b2)，所以a2b24，当且仅当a2b，即a，b时等号成立解法二：同解法一得2ab2.把2ab2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2b2的最小值是坐标原点到直线2ab2距离的平方，即4.21(12分)某工厂生产甲、乙两种产品已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤
24、4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t)，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，利润总额为z元，那么 z600x1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域作直线l：600x1 000y0，即直线l：3x5y0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大此时z60
25、0x1 000y取最大值解方程组得M的坐标为x12.4，y34.4.故应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大22(12分)已知函数f(x)x32bx2cx1的两个极值点为x1和x2，x12，1，x21，2，求f(1)的取值范围解：f(x)3x24bxc，由题可得 在平面直角坐标系bOc中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知f(1)2bc在点(0，3)取得最小值3，在点(0，12)取得最大值12.3f(1)12.故f(1)的取值范围为3，12第八章立体几何1.立体几何初步(1)空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物
26、体的结构能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(2)点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线
27、平行定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理理解以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行
28、两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置(2)会简单应用空间两点间的距离公式3空间向量与立体几何(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直(4)理解直线的方向向量及平面的法向量(5)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系(6)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用