1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示知识点一两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)知识点二三个重要公式1平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)(2)求两向量的夹角(3)证明两向量垂直2解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|，再由cos求出cos，也可由坐标表示cos直接求出cos.由三角函数值cos求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，利用cos来判断角时，要
2、注意cos0也有两种情况：一是是锐角，二是0.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.()(3)若两个非零向量的夹角满足cos0)又ab10，410，2，a(2,4)(2)ac22(1)40，(ac)b0.条件探究若将本例改为a与b反向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.解(1)a与b反向，且b(1,2)，设ab(0)，a(，2)，又ab10，410，2，a(2，4)(2)ac2(2)(1)(4)440，(ac)b0.数量积坐标运算的两条途
3、径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0 C1 D2答案C解析a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.题型二 向量的模的问题例2(1)若向量a(2x1,3x)，b(1x，2x1)，则|ab|的最小值为_；(2)若向量a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标解析(1)a(2x1,3x)，b(1x,2x1)，ab
4、(2x1,3x)(1x,2x1)(3x2，43x)，|ab| ，当x1时，|ab|取最小值为.(2)a(2,1)(2,4)(4，3)，|a|5.与a平行的单位向量是(4，3)，即坐标为或.设与a垂直的单位向量为e(m，n)，则ae4m3n0，.又|e|1，m2n21.解得或e或.答案(1)(2)见解析求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B. C2 D10答案B解析由ab，可得a
5、b0，即x20，解得x2，所以ab(3，1)，故|ab|.故选B.题型三 向量垂直的坐标表示例3设O(2，1)，O(3,1)，O(m,3)(1)当m2时，用O和O表示O；(2)若AB，求实数m的值解(1)当m2时，设Oxy，则有解得即OOO.(2)AOO(1,2)，BOO(m3,2)因为AB，所以AB0，即1(m3)220，解得m1.用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用坐标表示是把垂直条件代数化因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标解设D点坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6
6、，3)，(x3，y2)D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3)x32(y2)，即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0.6(x2)3(y1)0.即2xy30.由可得D(1,1)|，即|，点D的坐标为(1,1).题型四 平面向量的夹角问题例4已知ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，(1)若c5，求sinA的值；(2)若A是钝角，求c的取值范围解(3，4)，(c3，4)(1)若c5，则(2，4)cosAcos，.A是ABC的内角，故sinA.(2)若A为钝角，则0且，不反向共线由0，得3(c3)16.显然此时，不共线，故当A为
7、钝角时，c.求平面向量夹角的步骤若a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)求出abx1x2y1y2；(2)求出|a|，|b|；(3)代入公式：cos(是a与b的夹角)已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m，n的夹角为，则cos.0，即m，n的夹角为.题型五 向量数量积的综合应用例5已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)
8、(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度解(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)则1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.A(2,1)，B(3,2)，(1,1)设C点的坐标为(x，y)，则(x1，y4)，从而有解得点C的坐标为(0,5)(2,4)，|2，故矩形ABCD的对角线的长度为2.利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量
9、积为零即可(3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可已知a，b，m，nR，设(a2b2)(m2n2)(ambn)2，其中mn0，用向量方法求证：.证明设c(a，b)，d(m，n)，且它们的夹角为(0180)，则cdambn，|c|2a2b2，|d|2m2n2.(a2b2)(m2n2)(ambn)2，|c|2|d|2(cd)2.又cd|c|d|cos，cos221，cos21.又0180，0或180，即cd，anbm0.又mn0，.1若a(2，3)，b(x,2x)，且3ab4，则x等于()A3 B.C D3答案C解析3ab3(2x6x)12x4，x.故选C.2已知向量a(1,2)，b(2，
10、3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B.C. D.答案D解析设c(x，y)，则ca(1x,2y)，ab(3，1)，由已知可得解得即c.3已知a(1,2)，b(x,4)，且ab10，则|ab|_.答案解析由题意，得abx810，x2，ab(1，2)，|ab|.4设向量a与b的夹角为，且a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_.答案解析2ba2b(3,3)(1,1)，2b(1,1)(3,3)(2,4)，b(1,2)cos.5已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，|ab|2或2.
