1、5.3平面向量的数量积1数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作_，即ab_，其中是a与b的夹角，|a|cos(|b|cos)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的_ab的几何意义：数量积ab等于_2数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律交换律：_；数乘结合律：_；分配律：_(2)常用结论(ab)2_；(ab)(ab)_； a2b20_；|_.3数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 ea_. ab_.当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_.特别地，aa_或_. cos_._.4数量积的坐标表示设a
2、(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_；a2_；_. ab_._.自查自纠1.cosab|a|b|cos投影a的长度与b在a的方向上的投影cos的乘积2(1)abba(a)b(ab)a(b)(ab)cacbc(2)a22abb2a2b2a0且b03|a|cosab0|a|b|a|b|a|2|a|b|4x1x2y1y2xyx1x2y1y20 ()向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a()A1 B0 C1 D2解：因为2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，所以(2ab)a(1，0)(1，1)1.故选C. ()在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2，
3、1)，则()A2 B3 C4 D5解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以(1，2)(2，1)(3，1)，所以231(1)5.故选D. ()设a，b是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：ab|a|b|cosa，b若ab|a|b|，则cosa，b1，即a，b0，可得ab；若ab，则a，b0或，此时ab|a|b|或ab|a|b|.故“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件故选A. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB3，BD1，则_.解：如图所示，()93cos120，故填. ()ABC是边长为2的
4、等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).解：由2a，2ab得a，b2a，正确；|a|1，正确；|b|2，错误；a与b的夹角为120，错误；(4ab)b4abb2440，正确故填.类型一数量积的定义及几何意义(1)若a，b，c均为非零向量，则下列说法正确的是_(填写序号即可)abab；abab0；acbcab；(ab)ca(bc)解：abcos，为a，b的夹角，则cos1，正确；显然正确；错误，如ab，ac，则acbc0，但ab；错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，等式右边
5、为a的倍数故填.(2)ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若2，且，则向量在向量方向上的投影为()A. B. C3 D解：由已知可以知道，ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此ABC是直角三角形且A，又因为|，C，B，AB，AC1，故在方向上的投影为|cos.故选A. 【点拨】数量积ab|a|b|cosx1x2y1y2(其中两向量夹角为，a(x1，y1)，b(x2，y2)其几何意义是：ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题(1)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.则的值为
6、()A. B C. D解：因为ab|a|b|cosa，b23cosa，b6，所以cosa，b1，即向量a与b反向，则3a2b0.由此可得3(x1，y1)2(x2，y2)(0，0)，得x1x2，y1y2，故.故选B.(2)()已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为 ()A. B. C D解：(2，1)，(5，5)，由向量数量积的几何意义知向量在方向上的投影为|cos，.故选A.类型二数量积的基本运算已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_解：因为ab(e12e2)(ke1e2)ke(12k)(e1e
7、2)2e，且|e1|e2|1，e1e2，所以k(12k)20，解得k.故填.【点拨】实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如ab0a或b为0，abacbc，(ab)ca(bc)等(1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.解：b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e3211cos86.故填6. (2)()设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5解：(ab)210，(ab)26，两式相减得4ab4，ab1.故选A.类型三用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)已知向量a(x1，2)，
8、b(2，1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0解：由向量垂直的充要条件得2(x1)20，所以x0.故选D.(2)已知两个非零向量a，b满足，则下面结论正确的是()Aab BabC. Dabab解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2，a22abb2a22abb2，得ab0，ab.解法二：ab，ab分别是以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线|ab|ab|，平行四边形的对角线相等该平行四边形为矩形，ab.故选B.【点拨】两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y20.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量
9、均成立，因为我们又可视零向量与任意向量垂直(1)在直角三角形ABC中，已知(2，3)，(1，k)，则k的值为_解：当A90时，0.213k0，解得k.当B90时，又(1，k)(2，3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.当C90时，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.故填或或.(2)()已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解：，则()()221270，.故填.类型四向量的夹角与模(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A. B C. D解：记向量2ab与a2b的夹角为，因为(2ab)242232
10、423cos13，(a2b)222432423cos52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，所以cos，即2ab与a2b的夹角的余弦值是.故选B.(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解：a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.故填3.【点拨】由向量数量积的定义ab|a|b|cos(为a，b的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查求解夹角与模的题目在近年高考中出现的
11、频率很高，应熟练掌握其解法(1)若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角的取值范围是_解：由题意得，|sin，|1，|1，sin.又(0，)，.故填.(2)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2解：|abc|，由于ab0，a，b，c为单位向量，所以上式，又由于(ac)(bc)0，得(ab)cc21，所以|abc|1，故选B.类型五几何图形中向量的数量积(1)在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则_.解法一：由题知，D为BC的中点，E为CA的三等分点，以D为原点，以BC所在的直线为x轴，以
12、AD所在的直线为y轴，建立如图平面直角坐标系，可得A，D(0，0)，B，E，故，所以.解法二：由求解故填.(2)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是_解：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0x1.又M，C(1，1)，所以，(1x，1)，所以(1x，1)(1x)2.因为0x1，所以(1x)2，即的取值范围是.故填.(3)()已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_解：BAD120，|cos1202.BEBC，同理.1.1，解得2.故填2.【点拨】几何图形中向量
13、的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用求解(较难)；建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果(1)在直角三角形ABC中，C，AC3，取点D使2，则_.解：如图，.又2，()，即.C，0.26.故填6.(2)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解法一：以A为坐标原点
14、，的方向分别为x，y轴正方向建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0，2)，C(，2)(，0)，(，1)，设点F为(x，2)，则由，得x，x1.(1，2)，(1)2.解法二：()1，1.()()0(1)120.故填.(3)()在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_解：由题易知ADBCCD1，故()()()21cos6011cos602111cos1201(当且仅当，即时等号成立)故填.1平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数2注意平面向量的数量
15、积与数的乘法的区别：在数的乘法中，若ab0，则a，b中至少有一个为0.但在向量的数量积中，由ab0不能推得a0或b0，因为当两个非零向量a，b垂直时，也有ab0.应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立3注意向量0与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000；0的方向是任意的，并非没有方向4注意两个非零向量a，b的夹角与a，b所在直线的夹角的区别前者的取值范围是0，后者的取值范围是.5求向量模的常用方法：利用公式a2即|a|将模的运算转化为向量的数量积6利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解如果
16、能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷1下列命题正确的是()A单位向量都相等B若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C若非零向量a，b满足，则abD若a与b都是单位向量，则ab1解：A显然错；B中b0时，a与c不一定共线；对两边平方得ab0，而a与b为非零向量，所以ab，C正确故选C.2()设a(1，2)，b(1，1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()A B C. D.解：c(1，2)k(1，1)(1k，2k)，因为bc，所以bc1(1k)1(2k)32k0，所以k.故选A.3()已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2 C.a2 D.a2解：在菱形A
17、BCD中，ABC60，的夹角为60，()2a2.故选D.4()对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2解：根据数量积的定义ab|a|b|cosa，b，所以|ab|a|b|cosa，b|a|b|，选项A中的关系式一定成立；如果选项B中的关系式成立，则|ab|2|a|b|2，可得ab|a|b|，此式不恒成立；根据向量的运算法则可知选项C，D中的关系式是恒成立的故选B.5如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则的值等于()A8 B1C1 D8解：取中点D，连接OD，AD，则0且，即，而()，()()(22)
18、(5232)8，故选D.6已知x，y满足 若(x，1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是()A1 B. C. D.解：因为(x，1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy.依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.故选D.7已知向量a(1，0)，b(1，1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_解：(1)由a(1，0)，b(1，1)，得2ab(3，1)与2ab同向的单位向量
19、为.(2)由a(1，0)，b(1，1)，得b3a(2，1)设向量b3a与向量a的夹角为，则cos.故填；.8()在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(3，a)，aR，点P满足，R，|72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_解：，则O，P，A三点共线设OP与x轴夹角为，则OP在x轴上的投影长度为|cos|，又|2a299，故|cos24，即线段OP在x轴上的投影长度的最大值为24.故填24.9已知平面向量a，b满足|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22ab
20、b2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，解得k7.即k7时，a2b与kab垂直10已知(2，1)，(1，7)，(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取到最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cosACB.解：(1)点C是直线OP上一点，可设t.t(2，1)(2t，t)(12t，7t)，(5，1)(2t，t)(52t，1t)(12t)(52t)(7t)(1t)5t22
21、0t125(t2)28.当t2时，取到最小值此时，(2t，t)(4，2)(2)当(4，2)时，(3，5)，(1，1)，|，|，由(1)知8，cosACB.11在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksin，t).(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4时，tsin有最大值4.当tsin取最大值时，求.解：(1)由题意得(n8，t)，a，(n8，t)(1，2)0，即8n2t0.又|，564(n8)2t2.联立解得t8，n24或t8，n8，(24，8)或(8，8)(2)由题意得(ksin8，t)，与a共线，2(ksin8)(1)t0，t2ksin16，则tsin(2ksin16)sin2k.k4，01，当sin时，tsin取得最大值.由4，得k8，sin.，.此时(4，8)，(8，0)(4，8)32. 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2，1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_解：以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB2，AD1，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)设M(2，b)，N(x，1)(0x2)，根据题意，b，所以(x，1)，.所以x1(0x2)，所以1x14，即14.故填1，4