1、6.2.2向量的减法运算知识点一相反向量知识点二向量的减法1向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，如图，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线()，而差向量是另一条对角线()，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点2非零向量a，b的差向量的三角不等式(1)当a，b不共线时，如图，作a，b，则ab.(2)当a，b共线且同向时，若|a|b|，则
2、ab与a，b同向(如图)，于是|ab|a|b|.若|a|b|，则ab与a，b反向(如图)，于是|ab|b|a|.(3)当a，b共线且反向时，ab与a同向，与b反向于是|ab|a|b|(如图)可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：|a|b|ab|a|b|.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的差仍是一个向量()(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量()(4)相反向量是共线向量()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()Amn BmnC|m|n| D方向相反(2)_.(
3、3)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|_.答案(1)A(2)0(3)题型一 向量的减法运算例1化简：(1)()()；(2)()()解(1)解法一(变为加法)：原式()()0.解法二(利用公式)：原式()0.解法三(利用公式，其中O是平面内任一点)：原式()()()()0.(2)()()()()0.(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式首尾相连且为和；起点相同且为差做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用化简下列各式：(1)；(2)；(3).解(1).(2).(3).题型二 向量减法的几何意义例2如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，
4、b，c，试用a，b，c表示向量，及.解四边形ACDE为平行四边形，c.ba.ca，cb，bac.结论探究若例2条件不变，试用a，b，c表示向量.解解法一(应用三角形法则)：cb.解法二(应用平行四边形法则)：()cb.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于()Aabc BabcCabc Dabc答案B解析如图，点O到平行四边形的三个顶
5、点A，B，C的向量分别为a，b，c，结合图形有：acb.题型三 向量加法、减法的综合应用例3如图，O为ABC的外心，H为垂心求证：.证明作直径BD，连接DA，DC，有，DAAB，DCBC，AHBC，CHAB，故CHDA，AHDC.得四边形AHCD是平行四边形，进而.又，得.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置；(2)寻找相应的平行四边形或三角形；(3)运用法则找关系，化简得结果如图，已知D，E，F分别为ABC的边BC，AC，AB的中点求证：0.证明连接EF，由题意知：，.由D，E，F分别为ABC的边BC，AC，AB的中点可知：，.所以()()()()()()00.1在
6、菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A. B.C. D.答案C解析由向量减法法则知C错误2如图所示，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则等于()A. B.C. D.答案D解析由题图易知，又，.3若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B.C. D.答案B解析由向量减法的三角形法则可知.故选B.4若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|_，|ab|_.答案02解析如果a，b为相反向量，那么ab0，|ab|0，又ab，|a|b|1，|ab|2|a|2.5已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，用a，b，c表示.解解法一：如图所示，aa()acb.解法二：()0()a(bc)abc.