1、2.6函数与方程1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的_，也是函数yf(x)的图象与x轴的_(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴 函数yf(x) 由此可知，求方程f(x)0的实数根，就是确定函数yf(x)的_一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)0来说，我们可以将它与_联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根2函数的零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c ，使得
2、 ，这个c也就是方程f(x)0的根3二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1(1)f(x)0实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数yf(x)2f(a)f(b)0(a，b)(a，b)f(c)0 ()下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycosx BysinxCylnx Dyx21解：ycosx是偶函数且有无数多个零点，ysinx为奇函数，ylnx既不是奇函数也不是偶函数，yx21是偶函数但没有零点故选A. 函数f(x)2xx32在区间(0，1)内的零点个数是()A0 B1 C2 D3解：易知函数f(x)2xx32单调递增，f(0)1210，f(
3、1)21210，函数f(x)在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B. ()已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A. B.C(1，2) D(2，)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数yf(x)，yg(x)的图象如图所示，方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点结合图象可知，当直线ykx的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线yx1的斜率时符合题意，故k1.故选B. 方程lnx82x的实数根x(k，k1)，kZ，则k_.解：构造函数f(x)lnx2x8，f(x)20(x0)，
4、则f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)60，f(2)ln240，f(3)ln320，f(4)ln40，f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k3.故填3. ()已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数yf(x2)f(kx)只有一个零点，则实数k的值是_解：由f(x2)f(kx)0得f(x2)f(kx)，因为f(x)是奇函数，有f(kx)f(xk)，故有f(x2)f(xk)，又f(x)是R上的单调函数，所以方程x2xk即x2xk0有唯一解，由0解得k，故填.类型一判断函数零点所在的区间()已知函数f(x)log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2
5、，4) D(4，)解：f(x)在(0，)为减函数，又f(1)60，f(2)20，f(4)20.故选C.【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求但应注意到：不满足f(a)f(b)0时，f(x)2x6lnx，解法一：令2x6lnx0，得lnx62x.作出函数ylnx与y62x在区间(0，)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f(x)2x6lnx(x0)只有一个零点解法二：f(x)2，由x0知f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，而f(1)40，f(e)2e
6、50，f(1)f(e)0，从而f(x)在(0，)上只有一个零点综上可知，函数f(x)的零点个数是2.故填2.类型三已知零点情况求参数范围()已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0，3)时，f(x)，若函数yf(x)a在区间3，4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_解：函数yf(x)a在区间3，4上有互不相同的10个零点，即函数yf(x)，x3，4与ya的图象有10个不同交点在坐标系中作出函数f(x)在一个周期0，3)上的图象如图，可知当0a时满足题意故填.【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交
7、点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合()已知函数f(x) 函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A1，1) B0，2C2，2) D1，2)解：f(x)g(x)f(x)2x方程x20的解为x2，方程x23x20的解为x1或2.若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则 解得1a2，即实数a的取值范围是1，2)故选D.1函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点2判断函数
8、在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间a，b上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)f(b)的符号；(3)若f(a)f(b)0，则有实数解除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断3确定函数f(x)零点个数(方程f(x)0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)0的判别式0，0，0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题(3)若函数
9、f(x)在a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)f(b)0，则yf(x)在区间(a，b)内有唯一零点1函数yx的零点个数为()A0 B1C2 D3解：在同一坐标系内分别做出y1，y2的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B.2()若函数f(x)3ax12a在区间(1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是()Aa Ba或a1C1a Da1解：由题可知函数f(x)的图象是一条直线，所以f(x)在区间(1，1)上存在一个零点等价于f(1)f(1)0，即(15a)(a1)0.解得a或a1.故选B.3()函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3
10、 D4解：判断函数f(x)的零点个数可转化为判断方程f(x)2x|log0.5x|10的根的个数，由此得到|log0.5x|，设y1|log0.5x|，y2，则两个函数y1与y2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个故选B.4已知x0是函数f(x)2x的一个零点，若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解：由于函数g(x)在(1，)上单调递增，函数h(x)2x在(1，)上单调递增，故函数f(x)h(x)g(x)在(1，)上单调递增，所以函数在(1，)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上，f(x1)
11、f(x0)0.故选B.5()函数f(x)cos2x在区间3，3上零点的个数为()A3 B4 C5 D6解：令g(x)1x，则g(x)1xx20，故g(x)在R上单调递增，而g(3)g(3)0，故g(x)在(3，3)上仅有1个零点作图易知ycos2x在3，3上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同故选C.6()函数yln|x1|的图象与函数y2cosx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A8 B6 C4 D2解：作出两函数的大致图象如图所示两函数图象都关于直线x1对称，且共有6个交点，故所有交点的横坐标之和为6.故选B.7设f(x)2xx4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0(a，
12、a1)，其中aN，则a .解：x0是函数f(x)的一个正数零点，即f(x0)2x0x040，知f(2)22240，f(3)23340，x0(2，3)，再由y2x与yx4在(0，)上只有一个交点知a值惟一又aN，a2.故填2.8()已知函数f(x) 若函数g(x)f(x)2m有三个零点，则实数m的取值范围是_解：作出函数f(x) 的图象如图所示，令g(x)f(x)2m0，则f(x)2m，由图象知，当12m2，即1m时，直线y2m与yf(x)的图象有三个交点故填.9已知函数f(x)求函数yf(f(x)1的所有零点构成的集合解：先解方程f(t)1，即或得t2或t.再解方程f(x)2和f(x).即或和
13、或得x3或x和x或x.故所求为.10若函数f(x)2ax2x1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围解：f(x)在(0，1)上恰有一个零点，显然a0.有两种情形：f(0)f(1)0，得(1)(2a2)0a1；0且方程f(x)0的根在(0，1)内，令018a0a，得f(x)(x24x4)，此时f(x)0的根x02(0，1)综上知a1，即实数a的取值范围为(1，)11已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)(1)若f(1)0，试判断函数f(x)的零点个数；(2)若对任意x1，x2R，且x10，函数f(x)有两个零点(2)证明：令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x1)f(x1)f
14、(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0，即g(x)0在(x1，x2)内必有一个实根即存在x0(x1，x2)，使f(x0)f(x1)f(x2)成立 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0，1时，f(x)x3.又函数g(x)，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D8解：原问题可转化为函数f(x)与g(x)的图象在，上的交点个数问题由题意知函数f(x)为偶函数，且周期为2.当x，0，时，g(x)0，当x1时，g(x)1，且g(x)是偶函数，g(x)0，由此可画出函数yg(x)和函数yf(x)的大致图象如图所示，由图可知在上两函数图象有6个交点，故选B.
