1、11.2用样本估计总体1用样本的频率分布估计总体分布(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的_估计总体的_；另一种是用样本的_估计总体的_(2)在频率分布直方图中，纵轴表示_，数据落在各小组内的频率用_表示各小长方形的面积总和等于_(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布_随着样本容量的增加，作图时所分的_增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为_，它能够更加精细地反映出_(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以_，而且可以_，给数据的记录和表示都带来方便2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数
2、，中位数，平均数众数：在一组数据中，出现次数_的数据叫做这组数据的众数中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的_)叫做这组数据的中位数平均数：样本数据的算术平均数，即_在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该_(2)样本方差，样本标准差标准差s，其中xn是_，n是_，是_标准差是反映总体_的特征数，样本方差是样本标准差的_通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差自查自纠1(1)频率分布分布数字特征数字特征(2)各小长方形的面积1(3)折线图组数总体密度曲线总体在各个范围内取值的百分比(4)保留所有信息随
3、时记录2(1)最多平均数(x1x2xn)相等(2)样本数据的第n项样本容量平均数波动大小平方 在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示()A落在相应各组的数据的频数B相应各组数据的频率C该样本所分成的组数D该样本的样本容量解：在频率分布直方图中，小长方形面积组距频率，所以每个小长方形的面积是相应各组数据的频率故选B. ()某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A93 B123 C137 D167解：由扇形统计图可得，该校女教师人数为11070%150(160%)137.故选C. 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11
4、.5，15.5)2 15.5，19.5)4 19.5，23.5)923.5，27.5)1827.5，31.5)1131.5，35.5)1235.5，39.5)7 39.5，43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在31.5，43.5)的概率约是()A. B. C. D.解：落在31.5，43.5)的频数为22，所以概率约为.故选B. ()某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75，80，则这次考试该年级学生平均分数为_解：该年级学生平均分数为7540%8060%78.故填78. ()在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图
5、所示.131415003456688891112223344555667801223330122333若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是_解：由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153
6、，153)，故成绩在区间139，151上的运动员恰有4组，故所求人数为4.故填4.类型一数字特征及其应用()某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样
7、本的平均值和方差s2；(3)36名工人中年龄在s与s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，因此分成9组，每组4人，由于第一组中用随机抽样抽到的年龄数据为44，且编号间隔为4，因此，依次抽到的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2) (444036433637444337)40，s2(4440)2(4040)2(3640)2(4340)2(3640)2(3740)2(4440)2(4340)2(3740)2.(3)s，s36，s43，在s与s之间的数据是37，38，39，40，41，42，43，处在
8、此年龄阶段的工人一共有23人，所占比例为100%63.89%.【点拨】(1)根据系统抽样的定义和性质，结合题意，直接列举样本；(2)利用均值、方差的概念求解样本的均值x及方差s2；(3)利用(2)的结果，计算得到年龄在xs与xs之间的人数，再求解百分比本题主要考查系统抽样及平均数、方差的知识，意在考查学生的数据处理能力和计算能力某汽车制造厂分别从A，B两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1000 km)：轮胎A96112971081001038698轮胎B108 1019410596 93 97106(1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中
9、位数；(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A轮胎行驶的最远里程的平均数为：100，中位数为：99；B轮胎行驶的最远里程的平均数为：100，中位数为：99.(2)A轮胎行驶的最远里程的极差为：1128626，标准差为：s7.43；B轮胎行驶的最远里程的极差为：1089315，标准差为：s5.43.(3)虽然A轮胎和B轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差相对于A轮胎较小，所以B轮胎性能更加稳定类型二频率分布表、频率分布直方图及其应用()从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些
10、产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228(1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：(1)这些数据的频率分布直方图为：(2)质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100，质量指标值的样本方差为s2(20)20.06(10)2
11、0.26020.381020.222020.08104，所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0380.220.080.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定【点拨】(1)先利用表中的数据正确计算每组的频率，再据此作出频率分布直方图，注意纵坐标是；(2)求平均值时注意利用区间中点值；(3)只须将满足题意的各组数据的频率相加，再进行判断()随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，4
12、1，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3030.12(30，3550.20(35，4080.32(40，45n1f1(45，50n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35的概率解：(1)根据已知数据统计出n17，n22，计算得f10.28，f20.08.(2)由于组距为5，用得各组的
13、纵坐标分别为0.024，0.040，0.064，0.056，0.016.不妨以0.008为纵坐标的一个单位长，5为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图如下(3)根据样本频率分布直方图，以频率估计概率，则在该厂任取1人，其日加工零件数落在区间(30，35的频率为0.2，估计其概率为0.2.在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35的概率P1C(0.2)0(10.2)40.590 4.类型三茎叶图及其应用以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙
14、两组中各随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中x为x1，x2，xn的平均数解：(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，所以平均数为；方差为s2222.(2)当X9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4416种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21.事件“Y17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，P(Y17)
15、.同理可得P(Y18)；P(Y19)；P(Y20)；P(Y21).所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PE(Y)171819202119.【点拨】(1)根据茎叶图的意义可得甲、乙各组的数据并进一步计算平均数和方差；(2)得到甲、乙各组的数据后计算随机事件所含的基本事件数及运用古典概型概率计算公式求概率，进而求随机变量的分布列及随机变量的期望值()某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.179201530(1)根据茎叶图计算样本平均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名
16、优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率解：(1)样本均值22.(2)根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为，故可推断12名员工中优秀员工人数为124(人)(3)记事件A为“抽取的2名工人中恰有1名为优秀员工”，由于优秀员工为4人，非优秀员工为8人，所以事件A发生的概率为P(A)，即抽取的2名工人中恰有1名为优秀员工的概率为.1用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观2频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之
17、和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.3茎叶图的优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了4标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差都是测量样本数据离散程度的工具，但在解决实际问题时，一般多采用标准差1()在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析在
18、这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A总体B个体C样本的容量D从总体中抽取的一个样本解：5000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量故选A.2容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数234542则样本数据落在区间10，40)的频率为()A0.35 B0.45C0.55 D0.65解：由频率分布表可知：样本数据落在区间10，40)内的频数为2349，样本总数为20，故样本数据落在区间10，40)的频率为0.45.故选B.3()设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分
19、别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1，2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为()A1a，4 B1a，4aC1，4 D1，4a解：若a为常数，则E(Xa)E(X)a1a，D(Xa)D(X)4.故选A.4()为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组下图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A6 B8 C12 D18解：由
20、题意，第一组和第二组的频率之和为0.240.160.4，故样本容量为50，又第三组的频率为0.36，故第三组的人数为500.3618，故该组中有疗效的人数为18612.故选C.5某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：年龄3839404142人数532由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是()A年龄数据的中位数是40，众数是38B年龄数据的中位数和众数一定相等C年龄数据的平均数(39，40)D年龄数据的平均数一定大于中位数解：根据表中数据，得(5381039341242)(5381040341242)，解得39.3539.85，(39，40)故选C.6从甲乙两个城市
21、分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则()甲乙8650884001028752202337800312448314238A. 甲m乙 B甲乙，m甲乙，m甲m乙 D甲乙，m甲m乙解：易知甲21.5625，乙28.5625，m甲20，m乙29，甲乙，m甲m乙故选B.7()为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有_株树木的底部周长小于100 cm.解：由频率分布直方图可知
22、树木底部周长小于100 cm的频率是(0.0250.015)100.4，又样本容量是60，所以频数是0.46024.故填24.8抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8.79.19.08.99.3乙8.99.09.18.89.2则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_解：甲9.0，乙9.0，s(8.79.0)2(9.19.0)2(9.09.0)2(8.99.0)2(9.39.0)20.04，s(8.99.0)2(9.09.0)2(9.19.0)2(8.89.0)2(9.29.0)20.02，ss，成绩较为稳定的运动员
23、乙成绩的方差为0.02.故填0.02.9()某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差解：(1)由题可知，这20名工人年龄的众数是30，极差是401921.(2)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：(3)这20名工人年龄的平均数为(1932832953043133240)30，这20名工人年龄的方差为s2(xi)2 12.6.10()为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患
24、者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A药B药0.1.2.
25、3.解：(1)计算得2.3，xB1.6，从计算结果来看，A药的疗效更好(2)A药B药60.5 5 6 8 98 5 5 2 21.1 2 2 3 4 6 7 8 99 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2.1 4 5 6 75 2 1 03.2从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好11()从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数10，2)622，4)834，6)1746，8)2258，10)25610，12
26、)12712，14)6814，16)2916，18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是10.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组4，6)的有17人，频率为0.17，所以a0.0
27、85，课外阅读时间落在组8，10)的有25人，频率为0.25，所以b0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为()A9 B10 C11 D12解：不妨设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5且x1x2x3x4x5，则由样本方差为4可知：(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220.五个整数的平方和为20，则这五个整数的平方只能在集合0，1，4，9，16中选取(每个数字最多出现2次)：当这五个整数的平方中最大的为16时，分析可知，总不满足和为20；当这五个整数的平方中最大的为9时，0，1，1，9，9这组数满足要求，此时对应的样本数据为：x14，x26，x37，x48，x510；当这五个整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足要求，因此不存在满足条件的另一组数据故选B.
