1、第四章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆心为(1,-7),半径为2的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+7)2=4B.(x+1)2+(y-7)2=4C.(x+1)2+(y-7)2=2D.(x-1)2+(y+7)2=2解析:由已知条件得圆的标准方程为(x-1)2+(y+7)2=4.答案:A2.已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于()A.74 B.310 C.14 D.53解析:|P1P2|=(-1-2)2+(3-4)2+(5+3)2=74.
2、答案:A3.直线l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定解析:圆C的圆心为C(2,0),半径为2,圆心C到直线l的距离d=|2-1|2=222,所以圆与直线相交.答案:C4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是()A.外离B.内含C.相交D.相切解析:圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距01,所以直线与圆相离.所以最短距离为d-r=5-1.答案:C6.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是()A.点B.直线C.线段D.圆解析:圆
3、C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1.故圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.答案:D7.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析:由题意设圆心坐标为(a,-a),因为圆心到直线x-y-4=0与x-y=0的距离相等,所以|2a|2=|2a-4|2,解得a=1.所以圆心坐标为(1,-1),半径r=|2a|2=2.故所求圆的方
4、程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:C8.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=2-a.圆心到直线x+y+2=0的距离d=|-1+1+2|2=2,又弦长为4,因此由勾股定理可得(2)2+422=(2-a)2,解得a=-4.故选B.答案:B9.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+2=0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=(22)2,圆心(-1
5、,-2)到直线x+y+2=0的距离为|-1-2+2|2=22,故满足条件的点有4个.答案:D10.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()A.0k5 B.-5k0C.0k13 D.0k0)外切,则m的值为.解析:由已知得C1(-1,1),半径r1=1;C2(-5,-2),半径r2=m,所以圆心距d=|C1C2|=(-1+5)2+(1+2)2=5.又因为两圆外切,所以d=r1+r2.所以5=1+m,即m=4.答案:413.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是.解析:由题意可知点
6、P在以MN为直径的圆上,且除去M,N两点,所以圆心坐标为(0,0),半径为2.所以轨迹方程是x2+y2=4(x2).答案:x2+y2=4(x2)14.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a=.解析:两圆的圆心分别为O1(0,0),O2(a,0),半径分别为r1=2,r2=1.由两圆内切可得|O1O2|=r1-r2,即|a|=1,所以a=1.答案:115.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.解析:因为直线mx-y-2m-1=0(mR)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时
7、,半径最大,此时半径r=2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=2三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l经过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=23,求直线l的方程.解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.如图,作MCAB于点C,连接BM.在RtMBC中,|BC|=12|AB|=3,|MB|=2,故|MC|=|MB|2-|BC|2=1.由点到直线的距离公式得|k-1+3-2k|k2+1=1,解得
8、k=34.故直线l的方程为3x-4y+6=0.当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,且|AB|=23,所以符合题意.综上所述,直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.17.(8分)求与直线y=x相切,圆心在直线y=3x上且截y轴所得的弦长为22的圆的方程.解:设圆心坐标为O1(x0,3x0),半径为r,则|x0-3x0|2=r,解得r=2|x0|.又y轴被圆截得的弦长为22,(2)2+x02=r2,2+x02=2x02,x0=2,r=2.即圆的方程为(x+2)2+(y+32)2=4或(x-2)2+(y-32)2=4.18.(9分)已知一个圆的圆心为A(2,1),且与圆x2+y2-3x=0相
9、交于P1,P2两点.若|P1P2|=2,求这个圆的方程.解:设圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0.所以直线P1P2的方程为x+2y-5+r2=0.则点A(2,1)到直线P1P2的距离为|r2-1|5.又因为|P1P2|=2,所以当r=1时,易知符合题意,此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.当r1时,由(r2-1)25+1=r2,解得r2=6或r2=1(舍去).此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=6.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=1.19.(10分)在棱长为2的正方体OABC-O
10、1A1B1C1中,P是对角线O1B上任意一点,Q为棱B1C1的中点.求|PQ|的最小值.解:分别以OA,OC,OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由于Q是B1C1的中点,所以Q(1,2,2).点P在xOy平面上的射影在OB上,在yOz平面上的射影在O1C上 ,所以点P的坐标(x,y,z)满足x=y,z=2-y,则|PQ|=(x-1)2+(x-2)2+(-x)2=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,当x=1时,即P(1,1,1)时,|PQ|取得最小值2.20.(10分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中
11、点为M,O为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.解:(1)当C,M,P三点均不重合时,CMP=90,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),即(x-1)2+(y-3)2=2(x2,且y2或x0,且y4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又易得|OM|=|OP|=22,点O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以POM的面积为165.