1、2015-2016学年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中联考高一（下）期末数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡上1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Cac2bc2Da2abb22在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）ABCD3下列叙述错误的是（）A频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一定会越来越接近概率B有甲乙两种报纸可供某人订阅，事件B：”至少订一种报”与事件C：“至多订一种报”是对立事件C互斥事件不
2、一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D从区间（10，10）内任取一个整数，求取到大于1且小于5的概率模型是几何概型4一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是（，2），则cx2+bx+a0的解集是（）A（3，）B（，3）（，+）C（2，）D（，2）（，+）5设x，yR，向量=（x，1）=（1，y），=（2，4）且，则x+y=（）A0B1C2D26设an是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A120B105C90D757若=，则 tan2（）ABCD8在平行四边形ABCD 中，AC与BD 交于点O，E 是线段 OD的中点，AE的延
3、长线与CD 交于点F若=， =，则（）A +B +C +D +9在ABC中，tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列公比，则这个三角形是（）A钝角三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D以上都不对10若0，cos（+）=，则cos（）ABCD11设an是等比数列，公比q=2，Sn为an的前n项和记，nN*，设Tn为数列Tn最大项，则n=（）A2B3C4D512ABC 中，A：B=1：2，ACB的平分线 CD把ABC 的面积分成 3：2 两部分，则cosA等于（）ABCD或二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答卷相应的横线
4、上13已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是14春节时，中山公园门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互不影响，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是15给出下列命题：（1）函数y=tanx在定义域内单调递增；（2）若，是锐角ABC的内角，则sincos；（3）函数y=cos（x+）的对称轴x=+k，kZ；（4）函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin（2x+）的图象其中正确的命题的序号是16设函数f（x）=2xcosx，an
5、是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则f（a3）2a1a5=三、解答题本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17集合A=x|1x5，B=x|2x6，（1）若xA，yB且均为整数，求xy的概率（2）若xA，yB且均为实数，求xy的概率18设向量=（4cos，sin），=（sin，4cos），=（cos，4sin）（1）若与2垂直，求tan（+）的值；（2）若（，求|的取值范围19已知向量=（sinx，cosx），=（cosx， cosx）（0），函数f（x）=的图象的一个对称中心与和它相邻的一条对称轴之间的距离为（I）求函数f（x）的单调
6、递增区间（II） 在ABC中，角A、B、C所的对边分别是a、b、c，若f（A）=且a=1，b=，求SABC20已知函数f（x）=（1）当a=1，b=2时，求函数f（x）（x1）的值域，（2）当a=0时，求f（x）1时，x的取值范围21已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Tn；（）设集合，等差数列cn的任意一项cnAB，其中c1是AB中的最小数，且110c10115，求cn的通项公式22对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：f（x
7、）在D内单调递增或单调递减；存在区间a，bD，使f（x）在a，b上的值域为a，b，则把y=f（x），xD叫闭函数（1）求闭函数y=x3符合条件的区间a，b；（2）判断函数f（x）=x+，（x0）是否为闭函数？并说明理由；（3）已知a，b是正整数，且定义在（1，m）的函数y=k是闭函数，求正整数m的最小值，及此时实数k的取值范围2015-2016学年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡上1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）A
8、Babb2Cac2bc2Da2abb2【考点】不等式的综合【分析】结合已知中ab0，及不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论【解答】解：ab0，ab0，即，故A错误；abb2，故B错误；当c=0时，ac2=bc2，故C错误；a2abb2，故D正确；故选：D2在ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）ABCD【考点】余弦定理【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值【解答】解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC=故选C3下列叙述错误的是（）A频率是随机的，在
9、试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一定会越来越接近概率B有甲乙两种报纸可供某人订阅，事件B：”至少订一种报”与事件C：“至多订一种报”是对立事件C互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D从区间（10，10）内任取一个整数，求取到大于1且小于5的概率模型是几何概型【考点】概率的意义【分析】根据频率的意义和频率和概率之间的关系得到结论判断A， 根据对立事件定义判断B，C，根据几何概型判断D【解答】解：对于A：根据频率的意义，频率和概率之间的关系知道A正确，对于B：B与C有可能同时发生，故B和C不是对立事件，故B不正确，对于C：互斥事件和对立事件之间的关系是包含关系，是对立事件一
10、定是互斥事件，反过来不成立，故C正确，对于D：从区间（10，10）内任取一个整数，求取到大于1且小于5的概率模型是几何概型，故D正确故选：B4一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是（，2），则cx2+bx+a0的解集是（）A（3，）B（，3）（，+）C（2，）D（，2）（，+）【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据一元二次不等式ax2+bx+c0的解集，求出b、c与a的关系，化简不等式cx2+bx+a0，求出解集即可【解答】解：关于x的一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是（，2），b=a，c=a，不等式cx2+bx+a0可化为ax2ax+a0，即2x2+5x30，解得x（3，）故选：A
11、5设x，yR，向量=（x，1）=（1，y），=（2，4）且，则x+y=（）A0B1C2D2【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出【解答】解：，2x4=0，2y+4=0，解得x=2，y=2x+y=0故选：A6设an是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A120B105C90D75【考点】等差数列【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可【解答】解：an是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，a2=5，a1a3=（5d）（5+d）=16，d
12、=3，a12=a2+10d=35a11+a12+a13=105故选B7若=，则 tan2（）ABCD【考点】三角函数的化简求值；二倍角的正弦【分析】由=，可得tan的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论【解答】解：=，2（sin+cos）=sincos，sin=3cos，即tan=3tan2=故选：B8在平行四边形ABCD 中，AC与BD 交于点O，E 是线段 OD的中点，AE的延长线与CD 交于点F若=， =，则（）A +B +C +D +【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据DEFBEA得对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向
13、量，即可得出结论【解答】解：DEFBEA，DF：BADE：BE=1：3；作FG平行BD交AC于点G，FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，=，=+=，=+=+，故选：D9在ABC中，tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列公比，则这个三角形是（）A钝角三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D以上都不对【考点】两角和与差的正切函数；等差数列的性质【分析】由tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，可求得tanA=2，又由tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，可得tanB=3，从而可求tanC=1，从而可得A，B，C都是锐角
14、【解答】解：tanA是以4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanA=2；又tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比tanB=3，可见A，B，C都是锐角，这个三角形是锐角三角形，故选：B10若0，cos（+）=，则cos（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由已知角的范围可求+的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin（+）的值，由于=（+），利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解【解答】解：0，+，sin（+）=，cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=故选：C11设an是等比数列，公比q=2，Sn为an的前n项和记，nN*，设Tn为数列T
15、n最大项，则n=（）A2B3C4D5【考点】数列的求和【分析】利用等比数列的前n项和公式可得： =17，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：Sn=，S2n=，=17178=9，当且仅当n=2时取等号，数列Tn最大项为T2，则n=2故选：A12ABC 中，A：B=1：2，ACB的平分线 CD把ABC 的面积分成 3：2 两部分，则cosA等于（）ABCD或【考点】正弦定理【分析】由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍
16、角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值【解答】解：A：B=1：2，即B=2A，BA，ACBC，角平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=2：3，由正弦定理，得：，整理得： =，则cosA=故选：C二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答卷相应的横线上13已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是0，2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化为线性目标函数，然后化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案【解答】由约束条件作出可行域如图，令z=x+y，
17、得y=x+z由图可知，当直线y=x+z过C（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值，等于0；当直线过B（0，2）时直线在y轴上的截距最大，z有最大值，等于2的取值范围是0，2故答案为：0，214春节时，中山公园门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互不影响，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是【考点】几何概型【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，要满足条件须|xy|1，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案【解答】解：设这两串彩灯在第一次闪亮时
18、的时间分别为x，y，则，作出不等式组表示的区域，由几何概型的概率公式得所求概率为P=故答案为：15给出下列命题：（1）函数y=tanx在定义域内单调递增；（2）若，是锐角ABC的内角，则sincos；（3）函数y=cos（x+）的对称轴x=+k，kZ；（4）函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin（2x+）的图象其中正确的命题的序号是（2）【考点】正弦函数的图象；正切函数的图象【分析】利用诱导公式、三角函数的单调性以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：（1）函数y=tanx在每一个区间（k，k+）内单调递增，但在整个定义域内不是单调递增，故（1）错误
19、（2）若，是锐角ABC的内角，则+，即0，sinsin（）=cos，故（2）正确（3）对于函数y=cos（x+）=cos，令x=k，求得x=2k，可得函数的图象的对称轴x=2k，kZ，故（3）错误（4）函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos2x 的图象，故（4）错误，故答案为：（2）16设函数f（x）=2xcosx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则f（a3）2a1a5=【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】由f（x）=2xcosx，又an是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+f（a
20、5）=10a3，由题意可求得a3，从而进行求解【解答】解：f（x）=2xcosx，可令g（x）=2x+sinx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5g（a1）+g（a2）+g（a5）=0，则a3=，a1=，a5=f（a3）2a1a5=2=，故答案为：三、解答题本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17集合A=x|1x5，B=x|2x6，（1）若xA，yB且均为整数，求xy的概率（2）若xA，yB且均为实数，求xy的概率【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）列举出所有满足“xA，yB，且均为整数”的基本事件
21、的总个数，及其中满足条件xy的基本事件的个数，代入古典概型概率计算公式，即可得到答案（2）画出满足xA，yB，且均为实数的基本事件对应的平面区域，及其中满足条件xy的平面区域，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案【解答】解：设事件A：”xy”基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）共25个（ 3分）（1）其中事件A包含的基本事件有（
22、3，2），（4，2），（4，3），（5，2），（5，3），（5，4）共6个 （ 4分）P（A）= （ 5分）（2）设事件B：”xy”（画图 总基本事件（x，y）|，其对应的平面区域如图中矩形部分所示 7分其中事件B：”xy”（x，y）| 8分所围成的面积为图中阴影部份E的坐标为（2，2），F的坐标为（5，5），B的坐标为（2，5）P（B）=18设向量=（4cos，sin），=（sin，4cos），=（cos，4sin）（1）若与2垂直，求tan（+）的值；（2）若（，求|的取值范围【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数【分析】（1）根据与2垂直，转化为数量积为0，结合三角函数的两角
23、和差的公式进行转化求解即可（2）根据向量模长的公式 进行化简，结合三角函数的有界性进行求解【解答】解：（1）2=（sin2cos，4cos+8sin）与2垂直，（2）=0，即4cossin8coscos+4sincos+8sinsin=4sin（+）8cos（+），则sin（+）=2cos（+），即tan（+）=2，（2）由=（sin+cos，4cos4sin），则|2=（sin+cos）2+（4cos4sin）2=1715sin2，（，2（，则sin21，则21715sin2，则2|2，则|即|的取值范围是，）19已知向量=（sinx，cosx），=（cosx， cosx）（0），函数f（x
24、）=的图象的一个对称中心与和它相邻的一条对称轴之间的距离为（I）求函数f（x）的单调递增区间（II） 在ABC中，角A、B、C所的对边分别是a、b、c，若f（A）=且a=1，b=，求SABC【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象；正弦定理【分析】（）求出f（x）的表达式，得到的值，从而求出函数的递增区间即可；（）根据正弦定理求出B的值，从而求出C的正弦值，求出三角形的面积即可【解答】解：（I）f（x）=sinxcosx+cos2x=sin（2x+），f（x）的最小正周期为，且0=1，f（x）=sin（2x+），由+2k2x+2k，kZ得f（x）的增区间为+k，
25、+k，（kZ）；（II）若f（A）=，0A，2A+，A=，=，sinB=，B（0，），B=或，当B=45时，C=105sin105=sin（60+45）=，SABC=，当B=135，C=15，sin15=，SABC=20已知函数f（x）=（1）当a=1，b=2时，求函数f（x）（x1）的值域，（2）当a=0时，求f（x）1时，x的取值范围【考点】函数的值域【分析】（1）根据分式的性质，利用分子常数化，转化为基本不等式进行求解即可（2）将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论参数b的取值范围进行求解即可【解答】解：（1）当a=1，b=2时，f（x）=x1+5，（x1）当x1时，即x10f（x）=x
26、1+52+5=2+5=7当且仅当x1=，即x=2时取等号 3分当x1f（x）=x1+5=5（x1）2+5=2+5=3 4分当且仅当（x1）=，即x=0时取等号所以函数f（x）的值域（，37，+）（2）当a=0时，f（x）=1，即0，（bx2）（x1）0当b=0时，解集为x|x1当b0时，解集为x|x1或x当=1，即b=2，解集为当1，即0b2时，解集为x|1x；当01，即b2时，解集为x|x1；21已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Tn；（）
27、设集合，等差数列cn的任意一项cnAB，其中c1是AB中的最小数，且110c10115，求cn的通项公式【考点】数列与函数的综合；数列的求和；等差数列的性质【分析】（I）根据点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，可得，再写一式，两式相减，即可求得数列an的通项公式；（II）先确定数列的通项，再利用错位相减法求数列的和；（III）先确定AB=B，再确定cn是公差为4的倍数的等差数列，利用110c10115，可得c10=114，由此可得cn的通项公式【解答】解：（I）点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，当n2时，an=SnSn1=2n+1当n=1时，a1=S1
28、=3满足上式，所以数列an的通项公式为an=2n+1（II）kn为an与an+1的等差中项由4，得得： =（III）AB=BcnAB，c1是AB中的最小数，c1=6cn是公差为4的倍数的等差数列，又110c10115，解得m=27所以c10=114，设等差数列的公差为d，则，cn=6+（n+1）12=12n6，cn=12n622对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：f（x）在D内单调递增或单调递减；存在区间a，bD，使f（x）在a，b上的值域为a，b，则把y=f（x），xD叫闭函数（1）求闭函数y=x3符合条件的区间a，b；（2）判断函数f（x）=x+，（x0）是否为闭函数？并
29、说明理由；（3）已知a，b是正整数，且定义在（1，m）的函数y=k是闭函数，求正整数m的最小值，及此时实数k的取值范围【考点】函数单调性的性质；函数的定义域及其求法【分析】（1）由题意，y=x3在a，b上递增，在a，b上的值域为a，b，故有，求得a、b的值，可得结论（2）取 x1=1，x2=10，则由f（x1）=f（x2），可得f（x）不是（0，+）上的减函数同理求得f（x）不是（0，+）上的增函数，从而该函数不是闭函数（3）由题意，可得方程在（1，m）上有两个不等的实根利用基本不等式求得当x=2时，k取得最小值为5再根据函数g（x）在（1，2）上递减，在（2，m）递增，而函数y=g（x）与y
30、=k在（1，m）有两个交点，可得正整数m的最小值为3，此时，g（3）=，由此求得k的范围【解答】解：（1）由题意，y=x3在a，b上递增，在a，b上的值域为a，b，求得所以，所求的区间a，b为1，1（2）取 x1=1，x2=10，则f（x1）=f（x2），即f（x）不是（0，+）上的减函数取 x1=，x2=，则f（x1）=+10+100=f（x2），即f（x）不是（0，+）上的增函数，所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数（3）函数y=k是闭函数，则存在区间a，b，使函数f（x）的值域为a，b，函数y=k在区间a，b上单调递增，即，a，b为方程的两个实根，即方程在（1，m）上有两个不等的实根由于，考察函数，函数g（x）在（1，2）上递减，m2g（x）在（2，m）递增，而函数y=g（x）与y=k在（1，m）有两个交点，所以正整数m的最小值为3，此时，g（3）=，此时，k的范围是（5，）2016年8月4日
