1、7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义知识点一复数三角形式的乘法设z1，z2的三角形式分别是：z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则z1z2r1(cos1isin1)r2(cos2isin2)r1r2cos(12)isin(12)，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和几何意义：两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转2(如果20，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.特征：旋转伸缩变换知识点二复数三
2、角形式的除法设z1，z2的三角形式分别是：z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则cos(12)isin(12)(z20)，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差几何意义：两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量，将向量按顺时针方向旋转2(若20，则按逆时针方向旋转|2|)，再把模变为原来的倍，所得向量就表示商.复数除法实质也是向量的旋转和伸缩1复数三角形式的乘法公式推广z1z2z3znr1(cos1isin1)r2(cos2isin2)rn(cosnisinn)r1r2rncos
3、(12n)isin(12n)2复数的乘方运算(棣莫佛定理)r(cosisin)nrn(cosnisinn)即复数的n(nN*)次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复数范围内，1的立方根是1.()(2)z|z|2.()(3)236i.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)把z2i对应的向量，按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数的代数形式为_(2)(1i)2019_.(3)_.答案(1)12i(2)22019(3)2题型一 复数三角形式的乘法运算例1计算下列各式：(1)；(2)3cos7；(3)4.解(1)原式
4、.(2)原式2121.(3)原式i.(1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和(2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向(3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式(1)如果向量对应复数4i，逆时针旋转45后再把模变为原来的倍，得到向量，那么与对应的复数是_；(2)计算(1i)6.答案(1)44i(2)见解析解析(1)4i4，4444i.(2)原式62626.题型二 复数三角形式的除法运算例2计算(1i).解因为1i，所以原式(0i)i.(1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角(2)结果一般保留代数形式(3)商的辐角
5、主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差实际上，arg与argz1，argz2的关系是：argargz1argz22k(kZ)计算：(1)6(cos70isin70)3(cos40isin40)；(2).解(1)原式2i.(2)原式44i.题型三复数乘、除运算几何意义的应用例3如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：1234.证明如图，建立平面直角坐标系(复平面)1arg(3i)，2arg(5i)，3arg(7i)，4arg(8i)所以1234就是乘积(3i)(5i)(7i)(8i)的辐角而(3i)(5i)(7i)(8i)650(1i)，所以arg(3i)(5i
6、)(7i)(8i)，又因为1，2，3，4均为锐角，于是012342，所以1234.复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件设复数z1，z2对应的向量为，O为坐标原点，且z11i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2.解依题意(1i).z2(1i)22i.1.10()Ai BiC.i D.i答案A解析10cosisincosisincosisini.故选A.2若复数z，则它的三角形式为()A.B.C.D.答案C解析zi，|z|，复数z对应的点是，位于第一象限，所以argz.故选C.3.()Ai BiC1 D1答案A解析原式cosisincosisini.4计算2_.答案i解析解法一：原式i. 解法二：原式222i.5求复数z17的模解因为cosisin，所以77cosisini，故z1i，|z| .