1、第九章 平面解析几何第三讲椭圆练好题考点自测1.2021山西运城高三调研在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为() A.+=1B.+=1C.+=1 D.+=12.2018全国卷,5分已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A. B. C. D.3.多选题下列说法正确的是()A.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆B.椭圆的离心率e越大,椭圆就
2、越圆C.椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)D.+=1(ab0)与+=1(ab0)的焦距相同4.2021贵阳市摸底测试已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,点P在椭圆C上,O是坐标原点,若|OP|=|OF|,则OPF的面积是.5.2021成都市摸底测试已知点P在椭圆+=1(ab0)上,F1是椭圆的左焦点,线段PF1的中点在圆x2+y2=a2-b2上.记直线PF1的斜率为k,若k1,则椭圆离心率的最小值为.6.递进型已知F1,F2分别为椭圆C:+y2=1(a1)的左、右焦点,点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则长轴长为;
3、若P是椭圆上的一点,且|PF1|PF2|=,则=.拓展变式1.(1)2020福建龙岩三校联考椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,若F1PF2=60,则F1PF2的面积是()A.B.C.16D.32(2)并列型已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,P是C上一任意一点,则|PF1|PF2|的最大值为.若A(0,4),则|AP|-|PF2|的最小值为.2.(1)2019全国卷,5分已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1 B.+=1C.+=1 D.+=1(2
4、)若椭圆经过两点(1,)和(,),则椭圆的标准方程为.3.如图9-3-2,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则的最大值为.图9-3-24. 2020全国卷,12分已知椭圆C:+=1(0mb0),由e2=1-=,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为+=1,故选D.2.D由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图D 9-3-1所示,PF1F2为等腰三角形,且F1F2P=120,|PF2|=|F1F2|=2c.|OF2|=c,点P的坐标为(c+2ccos 60,2c
5、sin 60),即P(2c,c).点P在过点A且斜率为的直线上,=,解得=,e=,故选D.图D 9-3-13.CD对于A,由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而该常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段,该常数小于|F1F2|时,轨迹不存在,故A错误;对于B,因为e=,所以e越大,则越小,椭圆就越扁,故B错误;对于C,PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c,故C正确;对于D,+=1(ab0)与+=1(ab0)的焦距都是2,故D正确.故选CD.4.设椭圆C的左焦点为F1,连接PF1,则|OP|=|OF|=|F1F|,所以PF1PF,所以SPFO=b
6、2tan =11=.5.-1如图D 9-3-2,设M为PF1的中点,F2为椭圆的右焦点,连接PF2,F2M,OM.因为O,M分别为F1F2,PF1的中点,所以|PF2|=2c,则|PF1|=2a-2c,所以|F1M|=a-c,所以|F2M|=,k=tanMF1F2=14c2-(a-c)2(a-c)2c2a2-2ace2+2e-10e=-1,所以e的最小值为-1.图D 9-3-26.2由椭圆C:+y2=1(a1),知c=,所以F2(,0),点F2关于直线y=x的对称点Q(0,),由点Q在椭圆上得()2=1,即a=,则长轴长为2.所以椭圆方程为+y2=1,则|PF1|+|PF2|=2a=2,又|P
7、F1|PF2|=,所以cosF1PF2=,所以sinF1PF2=,则=|PF1|PF2|sinF1PF2=.1.A(1)解法一(常规解法)由椭圆+=1的焦点为F1,F2知,|F1F2|=2c=6,在F1PF2中,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=10.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2,即(2c)2=m2+n2-2mncos 60,即36=(m+n)2-3mn=100-3mn,解得mn=.故=|PF1|PF2|sinF1PF2=mnsin 60=.故选A.解法二(结论解法)依题意
8、知b=4,由椭圆焦点三角形的相关结论,得=b2tan =16tan =.故选A.(2)94由+=1,可得a=3,c=2,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,则|PF2|=6-|PF1|,于是|PF1|PF2|=|PF1|(6-|PF1|)=6|PF1|-|PF1|2.a-c|PF1|a+c,即1|PF1|5.当|PF1|=3时,|PF1|PF2|取最大值,最大值为18-9=9.|AP|-|PF2|=|AP|-(2a-|PF1|)=|AP|+|PF1|-6.又|AP|+|PF1|AF1|(当且仅当P在线段AF1上时取等号),(|AP|-|PF2|)min=|AF1|-6= -6=4.
9、2.(1)B设椭圆C的标准方程为+=1(ab0),因为|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a,所以|F2B|=,则|AF2|=a,|AB|=|BF1|=a,|AF1|=a.解法一在ABF1中,由余弦定理得cosBAF1=.因为椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,|F1F2|=2.在AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|AF2|cosBAF1,即4=a2+a2-2a2,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.于是椭圆C的标准方程为+=1.故选B.解法二因为|A
10、F1|=|AF2|=a,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0,-b),因为=2,所以B(,),代入椭圆方程得+=1,解得a2=3.又c=1,所以b2=a2-c2=2.于是椭圆C的标准方程为+=1.故选B.(2)+y2=1解法一当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为+=1 (ab0).椭圆经过两点(1,),(,),解得所求椭圆的标准方程为+y2=1;当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为+=1 (ab0).椭圆经过两点(1,),(,),解得与ab矛盾,故舍去.综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.解法二设椭圆方程为mx2+ny2=1 (m0,n0,mn).椭圆过(1,)和(,
11、)两点,解得所求椭圆的标准方程为+y2=1.3. 4 由题意知a=2,因为e=,所以c=1,b2=a2-c2=3.故椭圆方程为+=1.设P点坐标为(x0,y0),-2x02,-y0.因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),+=1,所以=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.则当x0=-2时,取得最大值4.4.(1)由题设可得=,得m2=,所以C的方程为+=1.(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ0,由题意知yP0.由已知可得B(5,0),因为BPBQ,所以kBP=-=-,所以直线BP的方程为y=-(x-5),所以|BP|=
12、|yB-yP|=yP,|BQ|=.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故AP1Q1的面积为=;|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,故AP2Q2的面积为=.综上,APQ的面积为.5.(1)把鱼群,A岛,B岛看成点,分别为M,A,B,则|MA|+|MB|=8,所以曲线C是以A,B为焦点且长轴长为8的椭圆.设曲线C的方程为+=1(ab0),则a=4,b=2.所以曲线C的方程是+=1.(2)能确定P处位置,点P坐标为(2,3)或(2,-3).理由如下.由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为53,因此鱼群距A,B两岛的距离比为53,因为|PA|+|PB|=8,所以鱼群距A,B两岛的距离分别为5海里和3海里.设P(x,y),由B(2,0),|PB|=3,得=3,由得x=2,y=3.所以点P的坐标为(2,3)或(2,-3)