1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第三章：圆锥曲线的方程32.2双曲线的简单几何性质【考点梳理】考点一：双曲线的性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c间的关系c2a2b2(ca0，cb0)考点二：等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是yx，离心率为.考点三:直线与双曲线的位置关系设直线l：ykxm(m0)，双曲线C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k
2、2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当b2a2k20，即k时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(2)当b2a2k20，即k时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线有两个公共点；0直线与双曲线有一个公共点；0，b0)上的点，F1F2是焦点，双曲线的离心率是，且F1PF2=90，F1PF2的面积是7，则a+b等于（ ）A3+B9+C10D1639（2021衡水市第十四中学高二月考）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，双曲线的离心率为，则（ ）ABCD40（2021全国高二课时练习）设点F1，F2分别是
3、双曲线C:的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点若ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=Dy=41（2021广州市番禺区象贤中学高二期中）已知双曲线：(，)的左右焦点分别为，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线，分别交双曲线左右支于另一点，则双曲线的离心率为（ ）ABCD42（2021江苏高二专题练习）已知点P为双曲线的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD二、多选题43（2021全国高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
4、A双曲线的离心率为B双曲线的渐近线方程为C的周长为30D点在椭圆上44（2021全国高二课时练习）（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（ ）A若，则双曲线离心率的取值范围为B若，则双曲线离心率的取值范围为C若，则双曲线离心率的取值范围为D若，则双曲线离心率的取值范围为45（2021全国高二单元测试）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点.若，则下列各项正确的是（ ）ABCD46（2021济宁市育才中学高二开学考试）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，为双曲线右支上的动点，过
5、作两渐近线的垂线，垂足分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）A双曲线的离心率B当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上C为定值D的最小值为三、填空题47（2021全国高二课时练习）若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60，则它的离心率为_48（2021哈密市第十五中学（理）双曲线的左右焦点分别是，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为_.49（2021湛江市第二十中学）双曲线的左焦点为，过作轴垂线交于点，过作与的一条渐近线平行的直线交于点，且、在轴同侧，若，则的离心率为_50（2021全国）如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则
6、|P2F1|P1F1|的值是_51（2021安徽省岳西县店前中学高二期末（文）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则双曲线的方程为_.四、解答题52（2021全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，且，一条渐近线的倾斜角为60（1）求双曲线C的标准方程和离心率；（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程53（2021全国高二课时练习）已知是以，为焦点的双曲线上的一点，且，（1）求双曲线的离心率；（2）过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），求双曲线的标准方程54（2021上海市长征中学高二期中）点是双曲线E
7、：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为 （1）求的值； （2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求的值55（2021江苏高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左右焦点分别为，直线交双曲线于，两点.（1）若，四边形的面积为12，求双曲线的方程；（2）若，且四边形是矩形，求双曲线的离心率的取值范围.56（2021全国高二专题练习）已知双曲线的离心率为2，为双曲线的右焦点，为双曲线上的任一点，且点到双曲线的两条渐近线距离的乘积为.（1）求双曲线的方程；（2）设过点且与坐标轴不垂直的直线与双曲线相交于
8、点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的值.57（2021江苏高二专题练习）已知椭圆，其短轴长为，离心率为，双曲线的渐近线为，离心率为，且（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于、不同两点，设直线和的斜率为、，若，试判断该动直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由13原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案详解】1C【详解】曲线表示椭圆，焦距为，当时，曲线表示双曲线，焦距为，故两条曲线的焦距相等,故本题选C.2B【详解】关于双曲线：，则渐近线方程为；焦点为；实轴，顶点坐标为故选B3A【详解】设，由于双曲线的离心率为，则，所以，双曲线的方程为，
9、即，将即代入双曲线的方程可得，由于、关于原点对称，、关于原点对称，则四边形是平行四边形，四边形的面积，解得，.故选：A.4D【详解】，则，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.5C【详解】设C：1抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4C的实轴长为46D【详解】由题意可得：，则实轴长为：，虚轴长为，由题意有：，解得：，代入可得双曲线方程为.本题选择D选项.7D【详解】等轴双曲线的一个焦点为，且a=b，又，即，双曲线的标准方程为故选：D8B【详解】
10、点在双曲线上，则有，即，又点在右支上，则有，故选：B9D【解析】等轴双曲线的两条渐近线方程为，所以，则，则；故选D.10C【详解】如图，作于点于点B，因为与圆相切，所以，在中，所以又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以，整理得：，所以，所以双曲线的渐近线方程为故选C11B【详解】由题意得，解得，所以双曲线的方程为故选：B12D【详解】因为双曲线的左焦点，所以c=1，即.设，代入，解得：，即，所以,所以的面积为.又有，解得：，.所以渐近线方程：，所以到双曲线渐近线的距离为.故选：D13D【详解】双曲线中一条渐近线的斜率为，若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，即，即.故选：
11、D14A解：设双曲线的左焦点为，右焦点为，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，故选：A15D【详解】设，则，又，则，即所以=又的面积为，所以，即，故双曲线的离心率为故选:D16A解：双曲线关于轴对称，且直线垂直轴，是锐角三角形，是锐角，即有，为左焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，即，由，可得，解得，又因，所以则双曲线的离心率的范围是故选：A17C【详解】，双曲线的渐近线方程为，故选：C.18D显然直线与交于原点O，由双曲线对称性知，四边形是矩形，当且仅当|AB|=|F1F2|，设点，而由得，解得，则，而|F1F2|=2c，所以化简得，即，解得，双曲线C的离心率e有.故选：D19【详解】
12、（1）由题意，双曲线的方程为；（2）设，设的方程为，代入双曲线方程，可得，同理，故得证.20（1）；（2）是定值，为解：（1）由题知双曲线的交点在轴上，因为直线过双曲线：的右焦点，所以，即，所以，即.所以双曲线C的方程.（2）由题知，设，因为，所以，所以，所以直线与双曲线：联立方程得：，所以，且，即，所以，所以， 所以当变化时，探究的值是定值，为.21（1）设双曲线方程为由题知双曲线方程为：（2）设直线l的方程为代入整理得，设所以：由弦长公式得：设AB的中点则， 代入l得：AB的垂直平分线方程为令y=0得，即，所以：为定值.22（1）；（2）【详解】（1），则双曲线C方程是：（2）设，由得，此
13、时检验得直线l的方程：23解：设直线的方程为，设，把直线与双曲线联立方程组，可得，则，（1），由，可得，即，把式代入式，可得，解得，即直线的方程为或（2）直线的方程为，直线的方程为，直线与的交点为，故，即，进而得到，又，故，解得故点在定直线上24（1）；（2）或.解析（1）双曲线的，由题意，且，解得，.（2）设点，则，有，由，则，得，结合，得，故点或.25C【详解】双曲线的焦点为，顶点为，所以椭圆的焦点坐标为，顶点为，所以， 所依椭圆的方程为.故选：C26C【详解】双曲线的一条渐近线为，焦点为，焦点到渐近线的距离为，所以，由于，所以.故选：C27B【详解】由双曲线的方程得，双曲线的虚轴长是实轴
14、长的倍，可得，则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，即，则顶点到渐近线的距离.故选：B.28C【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，所以双曲线的离心率故选：C.29B解：双曲线的顶点为，渐近线方程为，由题意可得，即为，双曲线的焦点设为，由题意可得，由可得，则双曲线的方程为故选：B30B解： 若是锐角三角形，则只需在中，则，又，又，故选：B31A解：根据题意可设，将代入，解得，则，所以，因为为等边三角形，则，即，又，所以，即，则，解得或，又因为双曲线的离心率，所以双曲线的离心率.故选：A.32B【详解】设C的渐近线的方程为，由，得；由，得，设线段的中点为，则，从而，则.
15、故选：B.33D【详解】是双曲线的左焦点，即点，将代入双曲线的方程可得，解得，故，设点，则，因为为等边三角形，则，故，整理可得，即，所以，即，所以，双曲线的离心率为.故选：D.34A解：由题意可知，故双曲线经过，两点，则，解得，所以，则双曲线的离心率为，故选：A35D【详解】设双曲线方程为，如图所示，过点作轴，垂足为，在中，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D36B【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c3，则a2b2c29.由解得a2，b，则双曲线C的方程为.故选：B.37A【详解】由题意可知圆心，半径为，又因为渐近线与圆相交所得
16、弦长为2，则圆心到渐近线的距离等于，双曲线的一条渐近线为，运用点到直线的距离公式计算有，即，所以，故，故选：A.38A【详解】由题意，不妨设点P是右支上的一点，|PF1|=m，|PF2|=n，则a=3，c=4.b=.a+b=3+.故选：A39A解法一：由题意知，则.设，则两式相减，得.因为线段的中点为，所以，又，所以，整理得，所以，即，得.故选：A.解法二：由题意知，则.设直线的方程为，即，代人双曲线方程，得.设，则，所以，又，所以，整理得，所以，即，得，则40D【详解】设，则，又，该双曲线的渐近线方程为选D41D如图，由双曲线的定义可得，由，可得，结合双曲线性质可以得到，而，结合四边形对角线
17、平分，可得四边形为平行四边形，结合，故，对三角形，用余弦定理，得到，因为，可得，代入上式子中，得到，即，由离心率满足，即可得出，故选：D42B【详解】取的中点，则由，得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，故，所以，解得：，故选：.43BCD【详解】双曲线化为标准形式为，则，故离心率，即A错误；双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；由双曲线的定义知，则，的周长为，即C正确；对于椭圆，有，由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，故选：BCD.44BC【详解】由题意，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，若，可得，根据双曲线的定义可得，则，解得；若，可得，根据双曲线的定义可得，
18、则，解得故选：BC45BD【详解】因为且，所以为等腰直角三角形.设椭圆的半焦距为，则，所以.在焦点三角形中，设，双曲线的实半轴长为则，故，故，所以，即，故，故选：BD.46ACD【详解】由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则，（舍去），又，所以，离心率为，A正确；设的内切圆与三边切点分别为，如图，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，B错；设，则，渐近线方程是，则，为常数，C正确；由已知的方程是，倾斜角为，所以，当且仅当时等号成立，D正确故选：ACD47或【详解】当时，离心率为，当时，离心率为，当时，离心率为，当时，离心率为.所以双曲线的离心率为：或.故答案为：或48
19、【详解】 为正三角形， ，又， ， ,（舍去）故答案为：.49【详解】易知点，将代入双曲线的方程，可得，解得，设点，过点作与直线平行的直线为，联立，解得，即点，因为，则直线的倾斜角为，则，即有，即，即，所以，所以，.故答案为：.506【详解】由，可得，设F2为右焦点，连接P2F2，由双曲线的对称性，知|P1F1|P2F2|，所以|P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|236.故答案为：651【详解】不妨设点在第二象限，设双曲线的左、右焦点分别为、，则的中点在直线上，且，故，因为、分别为、的中点，则，由双曲线的定义可得，所以，因此，双曲线的标准方程为.故答案为：.52（1），2 （2）（1）由
20、题意，又解得：故双曲线C的标准方程为：，离心率为（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为故即椭圆方程为：53（1）；（2）.解：（1）不妨设点在第一象限，（2）由（1），知双曲线的方程为，则渐近线的方程为不妨设，点在双曲线上，化简，得，双曲线的标准方程为54（1）；（2）或解：（1）因为点是双曲线E：上一点，所以，又，由直线PM，PN的斜率之积为，所以，即，又，得，所以；（2）由（1）可得双曲线的方程为，因为，所以，联立得，设，所以，设，由，所以，又为双曲线上一点，即，所以，化简得，又，在双曲线上，则，又有即有即，解得或55（1）；（2）【详解】（1）因为直线交双曲线于两点，所以，两点关于原
21、点对称，从而四边形是平行四边形，设双曲线的焦距为，则四边形的面积，解得，从而，所以，于是，解得，所以双曲线的方程为；（2）设，则.由，得因为，所以，化简得因为，所以由得，解得；由得，解得因此，的取值范围为56（1）；（2）.（1）由题意，渐近线方程为，若，又，即，故，双曲线的方程为.（2）由（1）知：，可设直线，联立，消去y得：，整理得，若，则，故，故的中点坐标为，线段的垂直平分线为，整理得，则，.57（1）；（2）直线过定点【详解】（1）由题意可知，双曲线的离心率为，则，则，椭圆的短轴长为，则，由题意可得，解得，因此，椭圆的方程为；（2）根据椭圆对称性，直线过定点且在轴上，设直线的方程，联立，消去整理得，设、，则，即，所以，即直线过定点.42原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
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