1、2.3.1直线与平面垂直的判定课时过关能力提升一、基础巩固1.下面条件中,能判定直线l的是()A.l与平面内的两条直线垂直B.l与平面内的无数条直线垂直C.l与平面内的某一条直线垂直D.l与平面内的任意一条直线垂直答案:D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6解析:仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.答案:B3.已知直线a与平面所成的角为50,直线ba,则b与所成的角等于()A.40B.50C.90D.150解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与所成的角也是50.答案:B4.如图,如果MC菱形ABCD所在的平
2、面,那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直解析:连接AC,因为ABCD是菱形,所以BDAC.又MC平面ABCD,则BDMC.因为ACMC=C,所以BD平面AMC.又MA平面AMC,所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.答案:C5.已知线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍,则AB所在的直线与平面所成的角为()A.30B.45C.60D.120解析:如图,AC,AB=B,则BC是AB在平面内的射影.因为BC=12AB,所以ABC=60,它是AB所在的直线与平面所成的角.答案:C6.如图,在正方形AB
3、CD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,则在这个空间图形中必有()A.AH平面EFHB.AG平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF解析:在平面图形中,ADDF,ABBE,所以折起后AHFH,AHEH,FHEH=H,所以AH平面EFH.答案:A7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为23,则该四棱柱的侧棱长等于_.解析:由题意得tanDBD1=DD1BD=23,因为BD=32,所以DD1=23BD=2332=22.
4、答案:228.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行四边形ABCD的形状一定是.解析:由于PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案:菱形9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.证明:B1CAB.证明:如图,连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1C
5、AO.因为BC1AO=O,所以B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.10.有一根旗杆高12 m,在它的顶端处系两条长13 m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?解:能.如图,设地面为平面,PO表示旗杆,PA,PB表示两条绳子,A,B,O三点不共线.PO=12 m,PA=13 m,OA=5 m,PO2+OA2=PA2,POA=90,即OPOA.同理可证OPOB.OAOB=O,OA,OB,PO.故由此能断定旗杆与地面垂直.二、能力提升1.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,
6、PA平面ABC,则下列结论不正确的是()A.CD平面PAFB.DF平面PAFC.CF平面PABD.CF平面PAD解析:由六边形ABCDEF是正六边形,可得CFAB,利用线面平行的判定定理可得CF平面PAB,C正确;同理可得CD平面PAF,A正确;在正六边形ABCDEF中,易得DFAF.因为PA平面ABC,所以PADF,且PAAF=A.由线面垂直的判定定理可得DF平面PAF,B正确.由排除法可知选D.答案:D2.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的位置关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:如图,取BD的中点O,连接AO,CO,
7、则BDAO,BDCO.因为AOCO=O,所以BD平面AOC,BDAC.又BD,AC异面,故选C.答案:C3.如果P是等边三角形ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC=23,ABC的边长为1,那么PA与底面ABC所成的角是()A.30B.45C.60D.90解析:如图,记O为点P在ABC内的射影.易知O为ABC的中心,且PO平面ABC,则PA与底面ABC所成的角即为PAO,AO=33AB=33,PA=23,所以cosPAO=AOPA=32,故PAO=30.故选A.答案:A4.如图,PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为.解析:PA平面ABCBC平面ABCPABCACBCPAAC=A
8、BC平面PACBCPC,所以直角三角形有PAB,PAC,ABC,PBC.答案:45.如图,已知ABC为等腰直角三角形,P为空间一点,且AC=BC=52,PCAC,PCBC, PC=5,AB的中点为M,连接PM,CM,则PM与平面ABC所成的角的大小为 .解析:由PCAC,PCBC,ACBC=C,知PC平面ACB,所以PMC为PM与平面ABC所成的角.因为ABC为等腰直角三角形,M是AB的中点,所以AB=(52)2+(52)2=10,CM=12AB=5.又PC=5,所以PMC=45.答案:456.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是.(只填序号)BD平面CB1D1;AC1B
9、D;AC1平面CB1D1;异面直线AD与CB1所成的角为60.解析:由于BDB1D1,BD平面CB1D1,B1D1平面CB1D1,则BD平面CB1D1,所以正确;由于BDAC,BDCC1,ACCC1=C,所以BD平面ACC1,所以AC1BD.所以正确;可以证明AC1B1D1,AC1B1C,又B1D1B1C=B1,所以AC1平面CB1D1,所以正确;由于ADBC,则BCB1=45是异面直线AD与CB1所成的角,所以错误.答案:7.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E是BC的中点,连接AE,AC.求证:AEPD.证明:因为四边形ABCD为菱形,ABC
10、=60,所以ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AEBC.因为BCAD,所以AEAD.因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.又PA平面PAD,AD平面PAD,且PAAD=A,所以AE平面PAD.又PD平面PAD,所以AEPD.8. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60, PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE平面PCD.(1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即APB为PB和平面PAD所成的角.在RtPAB中,AB=PA,故APB=45.(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以CDPA.因为CDAC,PAAC=A,所以CD平面PAC.又AE平面PAC,所以AECD.由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.又PCCD=C,所以AE平面PCD.
