1、第十章 计数原理第二讲二项式定理练好题考点自测1.2020北京,4分在(-2)5的展开式中,x2的系数为()A.-5 B.5 C.-10 D.102.2020全国卷,5分(x+)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5 B.10C.15D.203.2021河南开封模拟(2x-3y)n(nN*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x-2y)n的展开式的二项式系数之和等于()A.16B.32C.64D.1284.多选题下列关于多项式(1+-x)6的展开式的结论正确的是()A.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为212C.存在常数项D.x3项的系数为405.2020
2、天津,5分在(x+)5的展开式中,x2的系数是.6.2017 山东,5分已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.7.2020浙江,6分二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=,a1+a3+a5=.8.2020浙江金丽衢十二校第一次联考在(x2-)9的展开式中,常数项为,系数最大的项是.拓展变式1.(1)2021河南省名校第一次联考(1-x)(x+2)4的展开式中x的系数是()A.10B.2C.-14D.34(2)在(1-)7+(+)6的展开式中,若x2的系数为19,则a=.(3)2019浙江,6分在二项式(+x)9的展开式中,
3、常数项是,系数为有理数的项的个数是.2.(1)2020山西大同高三调研若(-)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.210B.180C.160D.175(2)已知(2x-)n的展开式中的二项式系数和为32.若(x+)(2x-)n的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为.答 案第二讲二项式定理1.C由二项式定理得(-2)5的展开式的通项Tr+1=()5-r(-2)r=(-2)r,令=2,得r=1,所以T2=(-2)x2=-10x2,所以x2的系数为-10,故选C.2.C因为(x+y)5的展开式的通项Tr+1=x5-ryr,所以(x+)(x+y)5的展开式
4、中x3y3的系数为+=15.故选C.3.A(2x-3y)n(nN*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,21(-3)n-1=-22(-3)n-2,解得n=4,24=16,则(3x-2y)4的展开式的二项式系数之和等于16,故选A.4.BCD由题意可得,(1+-x)6的展开式中各项系数之和为26,各项系数的绝对值之和为212,故A错误,B正确;(1+-x)6=1+(-x)6,该展开式第一项即为常数项,故多项式的展开式中一定存在常数项,故C正确;由题中的多项式可知,若出现x3项,可能的组合只有()0(-x)3和()1(-x)4,则可得x3项的系数为1320(-1)3+1121(-1)
5、4=40,故D正确.故选BCD.5.10二项式(x+)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r()r=2rx5-3r.令5-3r=2得r=1.因此,在(x+)5的展开式中,x2的系数为21=10.6.4由题意可知32=54,所以=6,解得n=4.7.80122由二项式定理得,(1+2x)5展开式的通项公式为Tr+1=2rxr,所以a4=24=80.当x=1时,35=a0+a1+a2+a3+a4+a5,当x=-1时,-1=a0-a1+a2-a3+a4-a5,由-得35+1=2(a1+a3+a5),所以a1+a3+a5=122.8.9x12展开式的通项公式为Tr+1=(x2)9-r(-)r=(-)rx
6、18-3r,当18-3r=0时,r=6,所以常数项为T7=(-)6=,要使项的系数最大,r必须为偶数,即有则解得r.又r是偶数,故r=2,所以系数最大项为T3=(x2)7(-)2=9x12.1.(1)C(1-x)(x+2)4=(1-x)()4=-,又(x+1)8的展开式的通项公式为Tr+1=x8-r,所以的展开式中含x的项为=x,-的展开式中含x的项为-=-x,所以(1-x)(x+2)4的展开式中x的系数是-=-14.故选C.(2)2(1-)7+(+)6的展开式中x2的系数为(-1)6+(a)1=+a,则a+=19,解得a=2.(3)165 的通项公式为Tr+1=xr(r=0,1,2,9),可
7、得常数项为T1=16,当系数为有理数时,r=1,3,5,7,9,有T2, T4, T6, T8, T10,共5个项.2.(1)B解法一 因为(-)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(-)10的展开式的通项公式为Tk+1=()10-k(-)k=(-2)k=(-2)k,令5-k=0,解得k=2,所以常数项为(-2)2=180.解法二因为(-)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以n=10,则(-)10可以看成10个多项式-相乘,要想得到常数项,则需在其中2个多项式中取-,余下的8个多项式中都取,则常数项为(-)2()8=180.(2)40因为(2x-)n的展开式中的二项式系数和为32,所以2n=32,所以n=5.令x=1,得(x+)(2x-)5的展开式中的各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2,即a=1,所以(x+)(2x-)5的展开式中的常数项为(-1)325-3+(-1)225-2=40.