江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）.doc

1、江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（其中是虚数单位）的虚部是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接由复数代数形式的乘

2、除运算化简复数得答案【详解】解：，故复数的虚部为，故选：C【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.2.下列求导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于，故选项A不正确；由于，故选项B正确；由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3.棣莫弗公式（是虚数单位），是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三

3、象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据公式化简,进而得出象限即可.【详解】由题, ,因为.故复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的公式运用以及象限的判断,属于基础题.4.函数的单调减区间为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所，令，解得故函数的单调递减区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题5.函数在区间上（ ）.A. 有最大值，无最小值B. 有最小值，无最大值C. 既有最大值，又有最小值D. 既无最大值，又无

4、最小值【答案】A【解析】【分析】结合基本不等式即可求解【详解】解：因为函数，；当且仅当即时等号成立；函数在区间上有最大值：，无最小值故选：A【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题6.设，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.7.已知函数在处有极大值，则常数c的值为（ ）.A. 1或3B. 3C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，再令导数等于0，求出 值，再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数，

5、把不满足条件的值舍去【详解】解：函数，它导数为，由题意知，在处的导数值为，或，又函数在处有极大值，故导数值在处左侧为正数，右侧为负数当时，满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数当时，导数值在处左侧为负数，右侧为正数故故选：B【点睛】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于0，且导数在该点左侧为正数，右侧为负数，属于中档题8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，定义域为，因为恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则恒成立，即在定义域

6、上单调递减，又，所以当时，当时，即当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，即最大值，所以，即.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分.9.对于复数，下列结论错误的是（ ）.A. 若，则为纯虚数B. 若，则C. 若，则为实数D. 纯虚数的共轭复数是【答案】AB【解析】【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数

7、，故C正确；对于B：，则即，故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题10.直线能作为下列（ ）函数的图像的切线.A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后根据直线能作为下列函数图象的切线，根据导数与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可【详解】解：函数，可得不成立；所以不正确； ，可以成立；所以正确；，可以成立；所以正确；，可成立所以正确；故直线能作为函数图象的切线，故选：BCD【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率的关系，属于基础题11.如图是的导函数的图象，对于下列四个

8、判断，其中正确的判断是（ ）.A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极大值.【答案】BC【解析】【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值【详解】解：由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对故选：BC【点睛

9、】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题12.若函数在定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数为（ ）.A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据已知中函数具有性质的定义，一一验证可得【详解】解：对于A，定义域为，则恒成立，故满足条件；对于B，定义域为，则，又，即当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，故不满足条件；对于C，定义域为，又，即在定义域上单调递减，且，故不满足函数在定义域上单调递增，故错误；对于D，定义域为，令，则时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，所以恒成

10、立，即在定义域上单调递增，故D正确；故选：AD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算_.【答案】13【解析】【分析】直接根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.14.已知函数，那么的值为_.【答案】2【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入导函数的解析式，计算即可得答案【详解】解：根据题意，则，则.故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题15.函数在上的单调递减，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导数，依

11、题意可得在上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为，所以，因为函数在上的单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递减，所以所以，即故答案为：【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.16.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分别求得，时的导数，求得单调性、极值，讨论，结合函数存在正的零点，可得的范围【详解】解：由的导数为，可得为增函数，可得，且时，的导数为，即有时，单调递减；或时，单调递增，可得为极小值，处取得极大值，时，时，；时，在递减，递增，无正的零点；时，时，故函

12、数存在正的零点，满足条件；当时，时，递增，；当时，在上单调递减，在上单调递增，则时函数取得极小值即最小值，故不存在，使得；当时，在上单调递增，且，故不存在，使得；综上可得时，存在，使得；故答案为：【点睛】本题考查分段函数的零点问题，注意运用分类讨论思想方法，考查导数的运用：求单调性和极值，考查运算能力和推理能力，属于中档题四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.已知，复数.（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；（2）若的共轭复数与复数相等，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义得到不等式组，

13、解得即可；（2）首先求出复数的共轭复数，再根据复数相等得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）由题意得，解得，所以的取值范围是；（2）因为，所以，因为与复数相等，所以，解得.【点睛】本题考查考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题18.已知函数且（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）（2）27【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再代入得到方程解得即可；（2）由（1）可得函数解析式，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）因为，由，得，解得（2）由（1）得，因为，所以在上单调递增，所以在时取得最大值，【点睛】本题考查函数的

14、导数的应用，利用导数求函数的最大值，属于基础题.19.已知复数（，为虚数单位）.（1）若且是纯虚数，求实数的值；（2）若复数，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据复数的代数形式的除法法则求出，再根据复数的类型求出参数的值；（2）根据复数的几何意义得到复数的轨迹，即可得到复数的取值范围；【详解】解：（1）由是纯虚数，得，解得（2）由，得，所以，即的轨迹是以为圆心，半径为的圆，可得即【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于中档题.20.已知函数.（1）若在处的切线斜率为，求的值；（2）若在处取得极值，求的值及的单调区间.【答案】（1）（2）；单调增区

15、间为；减区间为【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可得到参数的值；（2）依题意可得，从而求出参数的值，即可得到（），再令，解出，最后求出函数的单调区间；【详解】解：（1）因为所以，又因为在点处的切线斜率为，所以，即，解得（2）因为在处取得极值，所以，即，解得，所以（），令，即，解得，当，；当且，；当， 所以的单调递增区间为和；单调递减区间为和.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数与函数的极值，属于中档题.21.如图所示，直角梯形公园中，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路（点分别在与上），为切点，设.（1）试求观

16、光道路长度的最大值；（2）公园计划在道路的右侧种植草坪，试求草坪的面积最大值.【答案】（1）（2）平方千米【解析】【分析】（1）求出，分别求出，从而求出的表达式，求出的最大值即可；（2）求出的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值即可【详解】解：（1）由题意可知，在中，在中，则，又因，所以当时，此时，故的最长值为；（2）在中，由（1）得，则则，令即，解得，当单调递增；当单调递减，所以为函数的极大值，又函数在区间极大值唯一，因此这个极大值也是函数的最大值.，所以草坪面积最大值平方千米.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，属于中档题22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：在上恒成立.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分类讨论计算可得；（2）令，求出函数的导函数，再令，说明函数的单调性，从而得到函数的单调性，即可得证；【详解】解：（1）因为，定义域为，所以当时，增区间为；当时，令解得，令，解得函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）令则令，则，又函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得且时，；时，即时，；时，函数在上单调递减，在上单调递增，而，即两边取对数得，故在上恒成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属于中档题.