1、基础课3圆周运动一、单项选择题1如图1所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1的速度通过轨道最高点B，并以v2v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差()图1A3mg B4mgC5mg D6mg解析由题意可知，在B点，有FBmgm，解之得FBmg，在A点，有FAmgm，解之得FA7mg，所以A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg。故选项D正确。答案D2如图2所示，小物体P放在水平圆盘上随圆盘一起转动，下列关于小物体所受摩擦力Ff的叙述正确的是()图2AFf的方向总是指向圆心
2、B圆盘匀速转动时Ff0C在物体与轴O的距离一定的条件下，Ff跟圆盘转动的角速度成正比D在转速一定的条件下，Ff跟物体到轴O的距离成正比解析物体随圆盘转动过程中，如果圆盘匀速转动，则摩擦力指向圆心，如果变速转动，则摩擦力的一个分力充当向心力，另一个分力产生切向加速度，摩擦力不指向圆心，A、B错误；根据公式FnFfm2r可得在物体与轴O的距离一定的条件下，Ff跟圆盘转动的角速度的平方成正比，C错误；因为2n，所以Ffm(2n)2r，则Ff跟物体到轴O的距离成正比，D正确。答案D3质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动，A为传送带的终端皮带轮。如图3所示，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时能水平抛出
3、，皮带轮的转速至少为()图3A. B.C. D.解析要使物体通过终端时能水平抛出，则有mg，物体飞出时速度至少为，由vr2nr可得皮带轮的转速至少为n，选项A正确。答案A4(2017江苏徐州模拟)如图4所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()图4 AA的速度比B的大 BA与B的向心加速度大小相等C悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小解析A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即AB，但rArB，根据vr得，A的速度比B的小，选项A错误；根据a2
4、r得，A的向心加速度比B的小，选项B错误；A、B做圆周运动时的受力情况如图所示，根据F向m2r及tan 知，悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；由图知FT，所以悬挂A的缆绳受到的拉力小，选项D正确。答案D5如图5所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长ABlh，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动。要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是()图5A. BC. D2解析对小球，在水平方向有FTsin m2R42mn2R，在竖直方向有FTcos FNmg，且Rhtan lsin ，当球即将离开水平面时，FN0，转速n
5、有最大值，联立解得n，则A正确。答案A二、多项选择题6铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关。还与火车在弯道上的行驶速度v有关。下列说法正确的是()A速率v一定时，r越小，要求h越大B速率v一定时，r越大，要求h越大C半径r一定时，v越小，要求h越大D半径r一定时，v越大，要求h越大解析火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G与轨道支持力FN的合力来提供，如图所示，则有mgtan ，且tan sin ，其中L为轨间距，是定值，有mg，通过分析可知A、D正确。答案AD7如图6所示，质量为m的物体，沿着半
6、径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为，则物体在最低点时，下列说法正确的是()图6A受到的向心力为mgmB受到的摩擦力为mC受到的摩擦力为(mgm)D受到的合力方向斜向左上方解析物体在最低点做圆周运动，则有FNmgm，解得FNmgm，故物体受到的滑动摩擦力FfFN(mgm)，A、B错误，C正确；物体受到竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物体所受的合力斜向左上方，D正确。答案CD8(2016宜昌联考)如图7所示，半径为R的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分
7、别有质量为2m和m的静止小球A、B，它们由长为2R的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动。今对上方小球A施加微小扰动。两球开始运动后，下列说法正确的是()图7A轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等B轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等C运动过程中A球速度的最大值为D当A球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为mg解析两球做圆周运动，在任意位置角速度相等，则线速度和向心加速度大小相等，选项A正确，B错误；A、B球组成的系统机械能守恒，当系统重力势能最小(即A为最低点)时，线速度最大，则mg2R3mv2，最大速度v，选项C正确；A在最低点时，
8、分别对A、B受力分析，FNA2mg2m，FNBmgm，则FNAFNB，选项D正确。答案ACD9如图8所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R1 m，小球可看做质点且其质量为m1 kg，g取10 m/s2。则()图8A小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 mB小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 mC小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 ND小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
9、解析根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vygt3 m/s，水平分速度vxvytan 453 m/s，则B点与C点的水平距离为xvxt0.9 m，选项A正确，B错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNBmgm，vBvx3 m/s，解得FNB1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C正确，D错误。答案AC三、计算题10如图9所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A和B。小球A和B的质量之比。当小球A在水平面内做匀速圆周运动时，小球A到管口的绳长为l，此时小球B恰好处于平衡状态。管子的内径粗细不计，重力加速度为g
10、。试求：图9(1)拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角；(2)小球A转动的周期。解析(1)设细绳的拉力为F，小球B处于平衡状态有FmBg在竖直方向上，小球A处于平衡状态，有Fcos mAg解得cos 所以拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角60(2)对于小球A，细绳拉力的水平分量提供圆周运动的向心力，有Fsin mArlsin 解得小球A的线速度为v又T则小球A转动的周期T。答案(1)60(2)11(2016湖南怀化三模)某高速公路的一个出口路段如图10所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点(通过B点前后速率不变)，再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减
11、速到D点停下。已知轿车在A点的速度v072 km/h，AB长L1150 m；BC为四分之一水平圆弧段，限速(允许通过的最大速度)v36 km/h，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段，长为L250 m，重力加速度g取10 m/s2。图10(1)若轿车到达B点速度刚好为v36 km/h，求轿车在AB下坡段加速度的大小；(2)为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值；(3)轿车从A点到D点全程的最短时间。解析(1)v072 km/h20 m/s，AB长L1150 m，v36 km/h10 m/s，对AB段匀减速直线运动有v2v2
12、aL1，代入数据解得a1 m/s2。(2)汽车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，有Ffm，为了确保安全，则须满足Ffmg，解得R20 m，即Rmin20 m。(3)设AB段时间为t1，BC段时间为t2，CD段时间为t3，全程所用最短时间为t。L1t1，而Rvt2，L2t3，tt1t2t3，解得t23.14 s。答案(1)1 m/s2(2)20 m(3)23.14 s12如图11所示，固定的水平桌面上有一水平轻弹簧，右端固定在a点，弹簧处于自然状态时其左端位于b点。桌面左侧有一竖直放置且半径R0.5 m的光滑半圆轨道MN，MN为竖直直径。用质量m0.2 kg的小物块(视为质点)将弹簧缓慢压
13、缩到c点，释放后从弹簧恢复原长过b点开始小物块在水平桌面上的位移与时间的关系为x7t2t2(m)。小物块在N点进入光滑半圆轨道，恰好能从M点飞出，飞出后落至水平桌面上的d点。取重力加速度g10 m/s2，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，求：图11(1)d、N两点间的距离；(2)b、N两点间的距离；(3)物块在N点时对半圆轨道的压力。解析(1)由物块恰好从M点飞出知，在M点物块的重力恰好完全提供向心力，设其速度为vM，则mgmvM m/s物块由M点水平飞出后，以初速度vM做平抛运动。水平方向：xdNvMt竖直方向：y2Rgt2代入数据解得xdN1 m(2)从N到M，由机械能守恒定律得mv2mgRmv解得vN5 m/s物块在bN段做匀减速运动，由x7t2t2(m)知初速度v07 m/s，加速度a4 m/s2由vv2axbN，得xbN3 m(3)物块在N点时，设半圆轨道对物块的支持力为FN，由牛顿第二定律得FNmgm解得FN12 N由牛顿第三定律得物块在N点对半圆轨道的压力大小为12 N，方向竖直向下。答案(1)1 m(2)3 m(3)12 N方向竖直向下