1、2.4 平面向量的数量积 小结 编审：周彦 魏国庆【学习目标】1. 理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算2能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系3会用向量方法解决某些简单的实际问题【新知自学】知识梳理：1向量的夹角已知两个_向量a和b，作a，b，则_称作向量a与向量b的夹角，记作a，b向量夹角a，b的范围是_，且_b，a若a，b_，则a与b垂直，记作_2平面向量的数量积_叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab_.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零其中|a|cos (|b|cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影数
2、量积的记号是ab，不能写成ab，也不能写成ab.向量数量积满足下列运算律：ab_(交换律)(ab)c_(分配律)(a)b_a(b)(数乘结合律)3平面向量数量积的性质：已知非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)性质几何表示坐标表示定义ab|a|b|cosa，baba1b1a2b2模aa|a|2或|a|a|若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)|abab0a1b1a2b20夹角cosa，b(|a|b|0)cosa，b|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|a1b1a2b2|对点练习：1已知下列各式：|a|2a2；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2，其中正确
3、的有()A1个 B2个C3个 D 4个2设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b| BabCab Dab与b垂直3已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78) B(28，42)C52 D784若向量a，b满足|a|1，|b|2且a与b的夹角为，则|ab|_.5已知|a|2，|b|4且a(ab)，则a与b的夹角是_【合作探究】典例精析：一、平面向量数量积的运算例1、（1)在等边ABC中，D为AB的中点，AB5，求，|；(2)若a(3，4)，b(2,1)，求(a2b)(2a3b)和|a2b|.变式练习：如图，在菱形ABCD中，若AC4，则_.
4、规律总结：向量数量积的运算与实数运算不同：(1)若a，b为实数，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc, 但由abac及a0却不能推出bc.(3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的(4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立二、两平面向量的夹角与垂直例2、已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)若a，b，求ABC的面积规律总
5、结：1数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系变式练习：已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求实数m，n的值三、求平面向量的模例3、（1）设单位向量m(x，y)，b(2，1)若mb，则|x2y|_.（2）已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值规律总结：利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|
6、a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a|.变式练习：已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角四、平面向量的应用例4、已知向量a(cos ，sin )，b(2cos ，2sin )，c(0，d)(d0)，其中O为坐标原点，且0.(1)若a(ba)，求的值；(2)若1，求OAB的面积S.变式练习：ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A.(1)求；(2)若cb1，求a的值【课堂小结】【当堂达标】1已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx02在ABC中，A9
7、0，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若2，则()A B C D23在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为_4给出以下四个命题：对任意两个向量a，b都有|ab|a|b|；若a，b是两个不共线的向量，且1ab，a2b(1，2R)，则A，B，C共线121；若向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，则ab与ab的夹角为90；若向量a，b满足|a|3，|b|4，|ab|，则a，b的夹角为60.以上命题中，错误命题的序号是_【课时作业】1. 已知向量a和b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|ab|(
8、)A. B. 2 C. D. 42已知a，b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是()A. B. C. D.3.已知两个非零向量a与b，定义|ab|a|b|sin，其中为a与b的夹角若a(3,4)，b(0,2)，则|ab|的值为()A. 8B. 6 C. 8D. 64. 已知向量a(2,1)，b(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是_5.已知向量a，b满足|2ab|，且ab，则|2ab|_.6.在ABC中，A90，且1，则边c的长为_7、已知a=(4,2) ，（1）求与a 垂直的单位向量；（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量8、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求BAC的正弦值。【延伸探究】已知平面上三点A，B，C，向量(2k,3)，(2,4)(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求k的值