1、1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1
2、 rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.3任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，
3、第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)角终边上点P的坐标为(，)，那么sin ，cos ；同理角终边上点Q的坐标为(x0，y0)，那么sin y0，cos x0.()(4)(0，)，则tan sin .()(5)为第一象限角，则sin cos 1.()1角870的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由8701 080210，知870角和210角终边相同，在第三象限2下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写
4、成2k(kZ) ，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确3(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C. D2sin 1答案C解析设圆的半径为r，则sin 1，r，2弧度的圆心角所对弧长为2r.4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _.答案解析因为A点纵坐标yA，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .5函数y的定义域为_答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ).题型
5、一角及其表示例1(1)已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_(2)若角在第三象限，则在第_象限答案(1) (kZ)(2)二或四解析(1)在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为 (kZ)(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n，是第二象限角，当k2n1(nZ)时，2n2n，是第四象限角，综上知，当是第三象限角时，是第二或第四象限角思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判
6、断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限(1)设集合Mx|x18045，kZ，Nx|x18045，kZ，那么()AMN BMNCNM DMN(2)集合|kk，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案(1)B(2)C解析(1)方法一由于Mx|x18045，kZ，45，45，135，225，Nx|x18045，kZ，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN，故选B.方法二由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.(2)当k2n
7、(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1 (nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.题型二弧度制的应用例2已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)60 rad，lR10 (cm)(2)由题意得(舍去)，故扇形圆心角为.(3)由已知得，l2R20.所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5时，S取得最大值25，此时l10，2.思维升华应用
8、弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ()A. B.C D(2)已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_cm和圆心角为_弧度时，扇形面积最大答案(1)C(2)12解析(1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.即为2.(2)设扇形圆心角为，半径为r，则2r|r4，|2.S扇形
9、|r22rr2(r1)21，当r1时，(S扇形)max1，此时|2.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例3(1)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A B. C D.(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ()A. B.C. D.答案(1)B(2)A解析(1)r，cos ，m0，即m.(2)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin.命题点2三角函数值的符号例4(1)若sin 0且tan 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)设是第三象限角，且cos ，则是
10、()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案(1)C(2)B解析(1)sin 0，的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限(2)由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角命题点3三角函数线例5满足cos 的角的集合为_答案解析作直线x交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.思维升华(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根
11、据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围(1)已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()Ax轴上 By轴上C直线yx上 D直线yx上(2)已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3答案(1)A(2)A解析(1)1，角的终边在x轴上(2)cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.故选A.6数形结合思想在三角函数中的应用典
12、例(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为_(2)函数ylg(34sin2x)的定义域为_思维点拨(1)点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系(2)求函数的定义域可转化为解不等式sin x，利用三角函数线可直观清晰得出x的范围解析(1)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即圆心角PCA2，则PCB2，所以|PB|sin(2)cos 2，|CB
13、|cos(2)sin 2，所以xP2|CB|2sin 2，yP1|PB|1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)(2)34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)答案(1)(2sin 2,1cos 2)(2)(kZ)温馨提醒(1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置方法与技巧1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，
14、也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧失误与防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况A组专项基础训练(时间：35分钟)1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个答案C解析是第三象限角，故错误.，
15、从而是第三象限角，正确40036040，从而正确31536045，从而正确2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为()A. B.C. D2答案C解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，.3设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan 等于()A. B. C D答案D解析因为是第二象限角，所以cos x0，即x0.又cos x，解得x3，所以tan .4若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0答案B解析是第三象限角，sin 0，cos 0
16、，tan 0，则可排除A、C、D，故选B.5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4答案A解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知只有正确6已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧
17、长等于_答案解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得7已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为_答案1解析由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0.所以y1111.8设角是第三象限角，且sin ，则角是第_象限角答案四解析由是第三象限角，知2k2k (kZ)，k0；与2 200终边相同的角是40，所以2 200是第四象限角，则cos(2 200)0；103，所以10是第二象限角，则tan(10)0.13已知点P(sin cos ，2)在第二象限，则的一个变化区间是()A. B.C. D.答案C解析P(sin
18、cos ，2)在第二象限，sin cos ，的一个变化区间是.14在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(，1)，将OA绕O逆时针旋转450到B点，则B点的坐标为_答案(1，)解析设B(x，y)，由题意知|OA|OB|2，BOx60，且点B在第一象限，x2cos 601，y2sin 60，B点的坐标为(1，)15如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长解设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则tt|2.所以t4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在4的位置，则xCcos42，yCsin42.所以C点的坐标为(2，2)P点走过的弧长为4，Q点走过的弧长为4.