1、解密高考边缘热点问题数学考试大纲明确指出高考命题要与高等数学相关联，要为进入高校学习作准备近几年高考数学试题中出现了大量与高等数学衔接紧密的问题，主要表现为它们或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法此类题目的设计虽来源于高等数学，但一般起点高、落点低，其解决方法还是中学所学的初等数学知识，较易突破它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养，有层次地深入了解数学理性思维和进一步深造的潜能边缘热点之一 行列式知识背景 以高等代数的三阶行列式与空间解析几何的混和积等主要信息，考查空间向量的基本运算以及类比探究的
2、创新能力.值得注意的是高等数学与初等数学交汇是高考命题的六大交汇之一，是现代数学新高考创新题的重要题源！典例1 四棱锥中，底面ABCD是一个平行四边形，（1）求四棱锥的体积；（2）定义，对于向量，有，则_.（3）比较四棱锥的体积与间的关系,则的几何意义是_.解析（1） ，00，即，故，四边形ABCD分别是四棱锥的高和底面.又 ，16（2），即（3） 它是四棱锥的体积的3倍.猜想：在几何上可表示以、为棱的平行六面体的体积.点评 本例的第（1）问考查空间向量的夹角、模长、数性积等基本运算，第（2）问定义两个新运算，属于定义型创新题.求解关键是比照定义式具体化；第（3）问是类比型创新题，关键是通过四
3、棱锥的体积与的比较，探索的几何意义.边缘热点之二 界定新范围知识背景 新界定一个集合A：满足对任意的，都有；存在常数（），使得对任意的，都有两个条件的集合.对于（1）小问而言，求证只需逐条判断； 对于（2）、（3），已知，将满足A的两个条件作为已知，其中（2）小问关于唯一性的证明，常常采用反证法；（3）小问比较难，是广东卷的把关题，求解的关键在于与具体化并加以推广后，采取叠加求和，明确起止项和项数是求解本例的难点.典例2 （06年广东高考卷）是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意的，都有；存在常数，使得对任意的，都有.试求解：(1) 设 ，证明：；(2) 设，如果存在，使得，那么这样
4、的是唯一的；(3) 设，任取，令，证明给定正整数，对任意的正整数，成立不等式.解析 （1）对任意 即在上是增函数 ，即满足集合A的第条件.对任意的有令=,显然，且有，即满足集合A的第条件 综上所述，函数（2）设存在两个，使得, ，则由有 ，但与相矛盾这样的是唯一的.（3） ， 点评 界定新范围类在05、06年的高考模拟题中频繁出现，但在高考中出现尚属首次.求解这类题目的一个基本前提是明确“界定新范围”的充要性，如本例界定A的范围的两条标准即可作判定条件，如第（1）小题；也可以作为已知条件使用，如本例的第（2）小题、第（3）小题.对于第（2）小问也可以采用以下两种方法：证法一：若有且，使，则两点与的连线的斜率1但由条件（）可得故如果存在，使得，那么这样的是唯一的.证法二：要证明中的唯一性，令函数只需证明在中是严格单调便可因，而，即在严格单调故如果存在，使得，那么这样的是唯一的.在第（2）问所给的三种证法中，证法一、证法二都属于传统的反证法，其中证法二是从数形结合的角度导出矛盾，证法三是用高等数学的观点处理证明问题.对于第（1）（3）小问也可以采用微分方程的利普希茨判定条件和估值技巧来求证，但理解起来有一定的难度，这儿略去.
