1、山东师大附中高三第二次模拟考试数学试题（理科）第I卷一、选择题（每题5分，满分60分）1.集合，则实数的范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解出集合M，即可转化为在很成立，分离参数法即可求得a.【详解】已知，则 因为所以当恒成立即 恒成立即 故选B【点睛】本题以集合为背景，综合考察了函数函数的性质及参数范围的求解，综合性较强，解决该题的关键是由出发，得到在恒成立，再利用分离参数的方法求解a的范围，其主要应用的数学思想是转化的思想.2.设命题函数在上递增，命题中，则 ，下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析命题p 和命题q的真假，
2、再由复合命题的真假判断.【详解】是复合函数，在R上不是单调函数，命题p是假命题，在中，则 成立，命题 q是真命题所以为真故选C【点睛】本题考查了复合函数单调性判断、三角形中三角函数关系、简易逻辑判定方法，综合性较强，意在考查学生的推理，计算能力,要求学生要熟练掌握所考察知识内容.3.函数的值域为，则实数的范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分段函数的值域为R，则函数y=f（x）在R上连续且单调递增，列出关于a的不等式组即可求解a的值.【详解】因为函数的值域为所以 解得： 故选C【点睛】本题考查了分段函数的单调性，其题干描述较为隐蔽，需要通过分析其值域为R得到该函数在R上
3、是增函数，然后根据分段函数的单调性条件求解出a的范围.4.设是非零向量，则是成立的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】是非零向量，则方向相同，将单位化既有，反之则不成立.【详解】由可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量所以成立;反之不成立.故选B【点睛】本题考查了相量相等、向量的单位化以及充分必要条件；判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为
4、判断它的等价命题来解决5.设函数在时取得最大值，则函数的图象（ ）A. 关于点对称 B. 关于点对称C. 关于直线对称 D. 关于直线对称【答案】A【解析】【分析】函数在，可以求出，再由余弦函数的性质可得.【详解】因为时，取得最大值，所以 即对称中心：（，0） 对称轴： 故选A【点睛】本题考查三角函数解析式和三角函数性质，在确定三角函数解析式时需要根据三角函数性质列出方程组，解析式确定后，再利用解析式去研究三角函数性质，题目意在考查学生对三角函数基础知识的掌握程度.6.向量,若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量平行的条件列出关于x的方程即可求解.【详解】已知
5、可得=（12，14）因为所以14x+24=0解得：x=故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算及向量平行的应用，题目思维难度不大，但运算是其难点，在代入数值时容易出错.7.函数在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】点 在曲线上，先求出点的纵坐标，再根据导数几何意义先求出切线的斜率，有直线的点斜式方程即可写出切线方程.【详解】 ， 又 切线方程是：故选C【点睛】本题考查导数的应用，近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线在点的导数就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线
6、有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.8.中，角的对边分别为，若 ，则角（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理将角转化为边，化解后利用余弦定理求 角A即可.【详解】已知 由正弦定理得： A= 故选B【点睛】解三角形问题多为边角互化，主要用到的知识点是正、余弦定理以及三角形面积公式，在化解过程中要根据已知条件的提示进行合理转化，从而达到解决问题的目的.9.将函数的图象上每一个点向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首
7、先确定平移后的函数解析式，在求函数的递增区间.【详解】由题意可知平移后的解析式： 函数的单调递增区间： 解得：【点睛】本题考查了三角函数平移变换及三角函数性质，意在考查学生的变换能力、用算能力，三角函数平移变换前一定要分清变换前的函数和变换后的函数.10.函数是上的偶函数，且，若在上单调递减，则 函数在上是（ ）A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数【答案】D【解析】【分析】由判断出函数f（x）周期为2，根据函数是偶函数可得函数在一个周期内的单调性即可解得函数在 上的单调性.【详解】已知，则函数周期T=2因为函数是上的偶函数，在上单调递减，所以函数在上单调递增即
8、函数在先减后增的函数.故选D【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性的应用，意在考查学生的的转化能力和基础知识的应用能力，解题时需要仔细分析函数的“综合”性质后再做出判断.11.设为正数，且，则下列关系式不可能成立是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将变形为由对数运算性质可得 ，在结合对数函数图像即可.【详解】已知 则有由图像（如图）可得故选C【点睛】本题考查了对数的运算性质以及对数函数的图像性质，解决问题时首先要结合选项的结构特点，联系对数的运算性质对原式进行变形，也即构造与选项相似的对数函数，然后利用对数函数性质确定真数的大小关系，其中新构造对数函数的图像
9、是本题的难点.12.已知是函数的导函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数由已知条件可得F（x）是单调递减的函数，根据函数的单调性即可求得不等式的解集.【详解】设，因为所以即F（x）是单调递减的函数又因为所以则不等式的解集是：故选B【点睛】本题考查了导数应用、抽象函数不等式解法、构造法解不等式;在解决此类问题时往往需要根据已知条件构造函数，通过研究新函数的单调性、奇偶性等性质解决方程的根（根的个数）抽象不等式,其中构造函数要联系函数的和、差、积、商导数公式. 第II卷二、填空题（每题5分，满分20分）13.单位向量的夹角为，则_.【答案】【解析】【
10、分析】先将平方，再利用向量数量积求解.【详解】因为 所以【点睛】本题考查向量数量积运算、向量的模的求解，再求解向量的模时，常用到： ，该公式的作用就是将向量和实数联系起来，便于二者的转化与计算.14.中，角的对边分别为，则 的面积等于_ .【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】 化解得： 即：A=B又 解得：a=b= 【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知,则_ .【答案】【解析】【分析】利用三角函数诱导公式将正弦变为余弦，在根据二倍角公式即可求解.【详解】有三角函数
11、诱导公式： =- +1 =【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用，在解决此类问题时，先观察角，尽量通过变换使角相同或成为倍角，其次变三角函数名称，变换的方法是联系三角函数公式的结构特点.16.已知函数，其中是自然对数的底数, ，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数 的导数为 ，可得 在 上递增，又，可得为奇函数，则 ，即有 ，即有 ，解得 ，故答案为 .三、解答题（满分70分）17.已知函数，其图象两相邻对称轴间的距离为（1）求的值；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，面积，求.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）先用三角函数二倍角、降幂公式等将函数表达式化解为的形式，然后求的
12、值.（2）由 可得角,由面积公式求得ab=2，利用余弦定理即可求得c.【详解】（1）,其图象两相邻对称轴间的距离为最小正周期为T=， =1（2）,.【点睛】本题综合考查了三角函数的化解、性质以及解三角形问题，综合性较强，设计的知识点较多；三角函数化解中，常用到二倍角、降幂公式、辅助角公式等，一般要将解析式化为的形式后再求解最值、周期、对称轴、单调性等.解三角形主要是应用正、余弦定理对边角转化.18.若函数在单调递增，则的取值范围是_【答案】.【解析】在上恒成立，即： ， ，令 只需 ，则，则a的取值范围是.19.若对于函数图像上的点，在函数的图象上存在点，使得与关于坐标原点对称，求实数的取范围
13、.【答案】【解析】【分析】图像上的任意点P在函数y=g（x）上存在点Q，使得与关于坐标原点对称，等价于函数y=f（x）关于原点对称的函数图像与y=g（x）恒有交点,即可以通过参数分离求m的范围.【详解】先求关于原点对称的函数，问题等价于 ,与有交点 ，即方程有解,即有解,设,，当时 ，方程有解.解法二：函数是奇函数，其图象关于原点对称,问题等价于函数的图象与函数的图象有交点,即有解,设函数,递增；递减，,当 时，函数的图象与函数的图象有交点.【点睛】本题考查函数中参数的取值范围，注意运用参数分离法和转化的数学思想，解题中将g（x）存在点Q使其与P对称问题转化为关于原点对称的函数与g（x）恒有交
14、点是本题的难点和关键突破点.20.（1）讨论函数在上的单调性；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）的单调递增区间为，的单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导函数判断原函数的单调区间.（2）结合（1）知函数单调性，即可确定出在区间上的最值.【详解】（1），0+0_0+0_的单调递增区间为，的单调递减区间为.（2）.【点睛】本题考查了导数的应用，在解题中首先要准确求解导函数，也是关键的步骤，其次是列表确定函数的单调性，利用函数单调性确定函数的最值.21.设函数.（1）当时，研究函数的单调性；（2）若对于任意的实数，求的范围.【答案】（1）函数在上递增；（2）.【解析
15、】【分析】（1）利用导函数确定函数单调区间；（2）恒成立，确定a的范围可以先分离参数，然后求解新构造函数的最大值.【详解】（1） ,函数在上递增 .（2）对于任意的实数，所以，下面证明充分性：即当当 ,设且,所以,综上：.解法二：，可化为，设,-102+0+0极大极大，所以.解法三当，与题设矛盾，当，设,单调递减；单调递增；单调递减，当,综上：.【点睛】本题考查导数的应用和求参数范围；导数应用是每年高考必考题型，在解题中，首先要准确求解导函数，这是解题的关键，因此必须熟练掌握基本函数导数公式和和差积商的导数以及复合函数导数，其次参数范围问题也是高考热点之一，常用的方法是分离参数法和构造函数法.
16、22.设函数.（1）讨论函数极值点的个数；（2）若函数有两个极值点，求证：.【答案】（1）当时，无极值；当时，有两个极值点； 当时，有一个极值点；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分类讨论判断导函数对应的方程根的个数来确定极值点个数；（2）由（1）可知当时，有两个极值点，利用韦达定理可以构造出关于a的函数，利用导数求最大值.【详解】（1） ,设，若即，上单调递减 ，无极值 .，,在上，单调递减；在上单调递增，函数有两个极值点.当，在上，单调递增；上单调递减,函数有一个极值点，综上，当，函数无极值；当，函数有两个极值点；当时，函数有一个极值点 .（2）由（1）知，当时，有两个极值点，且，设递增，, ,.【点睛】本题考查利用导数求解极值点个数、证明不等式；求解极值点个数其方法是利用导函数零点的个数结合原函数的单调性来确定，要注意导函数的零点并不一定是函数的极值点，要成为极值点其左右两边的单调性必须相异；不等式的证明其实质还是利用函数的单调性确定最值，当需要构造合理的函数，这是解题的难点和关键点.
