1、第3讲导数及其应用1(2016四川改编)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_.答案2解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.2(2016课标全国乙改编)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是_答案解析函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，
2、)恒成立当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上为增函数，得af(1)；当1cos x0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例2已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，y
3、f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)令f(x)0得x12，x2ln ，列表：x(，2)2ln (ln ，)f(x)00f(x) 极大值极小值yf(x)的单调增区间为(，2)，；单调减区间为.f(x)极大值f(2)44e2.思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，解得x0，即函数f(x)的单调递增区间为(，)(0，)(2)f(x
4、)的定义域为(0，)f(x)4x.由f(x)0，得x.据题意，得解得1k0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例3已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围解(1)f(x)a(x0)，由题意可知，f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(x)，根据题
5、意由f(x)0，得x2.于是可得下表：x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0), 由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则解得0a.故a的取值范围为.思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数
6、的最值跟踪演练3已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.(2)当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)maxf()ln 1.综上可得，a的取值范围是(1，).
7、1设函数yf(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)_.押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点答案4解析依题意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为_押题依据函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键极值点、极值的求法是高考的热点答案解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.3已知函数f(x)x
8、2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.4已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_押题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决考查了转化与
9、化归思想，是高考的一个热点答案解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.A组专题通关1设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.答案2解析令tex，f(t)tln t(t0)，所以f(x)xln x(x0)f(x)1，f(1)2.2曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_答案y解析
10、f(x)的导数f(x)，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率k0， 切点为，曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y.3已知a0，函数f(x)(x22ax)ex.若f(x)在1,1上是单调递减函数，则a的取值范围是_答案，)解析f(x)exx22(1a)x2a，f(x)在1,1上单调递减，f(x)0在1,1上恒成立令g(x)x22(1a)x2a，则解得a.4函数f(x)x33x的极小值为_答案2解析f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(1,1)时，f(x)0，函数yf(x)在(，1)或(1，)上是增函数，故当x1时，函数f(x)取得极小值f(1)13312.5已知函数f(x)xaln
11、 x，若曲线yf(x)在点(a，f(a)处的切线过原点，则实数a的值为_答案e解析因为f(x)1，因此f(a)2ln a1ae.6已知函数f(x)asin xbx34(a，bR)，f(x)为f(x)的导函数，则f(2 014)f(2 014)f(2 015)f(2 015)_.答案8解析因为f(x)asin xbx34(a，bR)，所以f(x)acos x3bx2.因为f(x)4asin xbx3为奇函数，且f(x)acos x3bx2为偶函数，所以f(2 014)f(2 014)f(2 015)f(2 015)f(2 014)4f(2 014)488.7已知函数f(x)x32x，若 (a0且
12、a1)，则实数a的取值范围是_答案解析因为f(x)3x220，f(x)f(x)，所以f(x)x32x为R上单调递增的奇函数，因此由得即1loga3，当a1时，a3，当0a0，解得a，所以a的取值范围是(，)9(2016北京)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)f(x)的定义域为R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.依题设，即解得a2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex，由f(x)(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.
13、当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的单调递增区间为(，)10已知函数f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)4at对任意的x1,3，t0,2恒成立，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)ln x，f(x)，令f(x)0，得x2或x2(舍去)x1,3，当1x2时，f(x)0；当2x0.f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在x2处
14、取得极小值f(2)ln 2.又f(1)，f(3)ln 3，ln 31，(ln 3)ln 310，f(1)f(3)，当x1时，f(x)取得最大值为.当x2时，f(x)取得最小值为ln 2.(2)由(1)知，当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)对任意t0,2恒成立，即at恒成立，记g(t)at，t0,2解得a0，则ef(2 015)_f(2 016)(填“”“解析令g(x)，则g(x)g(2 016)，即，ef(2 015)f(2 016)12(2016江苏苏北三市高三最后一次模拟)若点P，Q分别是曲线y与直线4xy0上的动点，则线段PQ长的最小值为_答案解析设两直线4xym与y相切
15、，P为切点由y得4x1，因此P(1,5)或P(1，3)，m9或m7，两直线4xym,4xy0间距离分别为或，故线段PQ长的最小值为.13设函数f(x)x3mx2m(m0)(1)当m1时，求函数f(x)的单调减区间；(2)设g(x)|f(x)|，求函数g(x)在区间0，m上的最大值解(1)当m1时，f(x)x3x21.f (x)3x22xx(3x2)由f (x)0，解得x0或x.所以函数f(x)的减区间是(，0)，(，). (2)依题意m0.因为f(x)x3mx2m，所以f (x)3x22mxx(3x2m)由f (x)0，得x或x0. 当0x时，f (x)0，所以f(x)在(0，)上为增函数；当xm时，f (x)0，所以f(x)在(，m)上为减函数；所以，f(x)极大值f()m3m.当m3mm，即m时，ymaxm3m. 当m3mm，即0m时，ymaxm.综上，ymax