1、2017-2018学年高三上学期期中考试数学理科试题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 设命题p：，则为A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只要将函数的图象A. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍B. 先向右平移个单位，再将各点横坐标变为原来的2倍C. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍D. 先向右平移个单位，再将各点横坐标变为原来的2倍4. 函数的定义域为A. B. C. D. 5. 若变量满足条件，则目标函数的最小值为A. B. C. D. 16. 已知A、B两地相距150千米，某人开
2、汽车以60千米小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间小时的函数表达式是A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是A. B. C. D. 8. 设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有，则A. 1B. 3C. 6D. 99. 如图，在ABCD中，分别为上的点，且，连接交于P点，若，则的值为A. B. C. D. 10. 已知函数，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 的值是_ 12. 不等式的解集是_ 13. 已知，则_ 14. 如图，一艘船下午13：30在
3、A处测得灯塔S在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，14：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东处，且与它相距海里，则此船的航速为_ 海里小时15. 设函数，若函数有三个零点，则_ 三、解答题（本大题共6小题，共75.0分）16. 设函数的图象上相邻最高点与最低点距离为求的值；若函数是奇函数，求函数在区间上的单调减区间17. 在中，分别是角的对边，若试判断的形状；设，点P是内切圆上的动点，求的取值范围18. 已知，设p：对恒成立；q：成立如果“”为真，“”为假，求m的取值范围19. 已知数列满足：求数列的通项公式；设，求数列的前n项和20. 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入
4、水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为米单位时间，每单位时间的用氧量为升，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为升，返回水面的平均速度为米单位时间，每单位时间用氧量为升，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为升求y关于v的函数关系式；若，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少21. 已知曲线C：求曲线C过点处的切线方程答案和解析【答案】1. 解：集合，故选：A根据交集的定义写出本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目2. A2. 解：特称命题的否定是全称命题，：，都有故选：B根据含有量词的命题的否定进行判断即可本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3. B
5、3. 解：将函数的图象先向左平移个单位，可得的图象，再将各点横坐标变为原来的倍，可得函数的图象，故选：C利用函数的图象变换规律，得出结论本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题4. C4. 解：由，解得函数的定义域为：故选：D直接由根式内部的对数式大于等于0，分式的分母不等于0，列出不等式组，求解即可得答案本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题5. D5. 解：变量满足的平面区域如图：目标函数变形为，当此直线经过图中A时z最小，由得到，所以；故选：A画出平面区域，利用目标函数等于直线在y轴的截距得到最最优解位置，求得z的最小值本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出平面
6、区域，利用目标函数的几何意义求最小值6. A6. 解：由题意得两地相距150km，某人开汽车以的速度从A地到达B地，可得从A到B须要小时，以的速度返回A地，从B到A需要3小时当时，当时，当时，故故选D由已知中两地相距150km，某人开汽车以的速度从A地到达B地，在B地停留1h后再以的速度返回A地，我们可以分别求出A到B，停留，及B到A时路程表示为时间的函数表达式，综合讨论结果，即可得到函数的解析式本题考查的重点是分段函数的解析式，其中分类讨论每一段上函数的解析式，是解答本题的关键7. D7. 解：令函数，则，或，即函数有两个零点，故排除B；当时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由，可
7、排除D，故选：A求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案本题考查的知识点是函数的图象，函数的极限，超越函数的图象比较难画，排除法是常用的解题方法，难度中档8. A8. 解：设，则，则条件转化为，令，则，易得，利用换元法将函数转化为，求出函数的表达式，即可得到结论本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键9. D9. 解：，三点共线，则故选：D，三点共线，即可求得本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题10. D10. 解：，可得对任意的x均成立因此不等式，即，等价于恒成立，是R上的单调减函数，所以由得到，即故选：D由函数的解
8、析式，算出对任意的x均成立因此原不等式等价于，再利用导数证出是R上的单调减函数，可得原不等式即，由此即可解出实数a的取值范围本题给出多项式函数，求解关于a的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题11. D11. 解：故答案为：求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和下限作差得答案本题考查定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题12. 12. 解：当时，有不等式可得，得，无解当时，有，解得当时，有，即综上，有故原不等式的解集为，故答案为分、三种情况，分别去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，最后把这三个解集取并集，即得所求本题主要考查绝对
9、值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题13. 13. 解：，故答案是：利用诱导公式和二倍角公式进行化简求值本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查14. 14. 解：由题意得在中，由正弦定理得，船的速度为海里小时故答案为：36求出，利用正弦定理得出AB，从而得出船的航行速度本题考查了正弦定理的应用，属于基础题15. 3615. 解：不妨设或，作出的函数图象如图所示：设，由图象可知：当时，方程有3解，当时，方程有2解，函数有三个零点，关于t的方程有且只有一解，是的三个解，不妨设，则，令得故答案为：设，根据的函
10、数图象得出方程的根的个数，从而得出，故而可求出的三个解，得出答案本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查学生分析解决问题的能力，确定只有当时，它有三个根是关键16. 16. 由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，设T为的最小值周期，由题意得，结合，可求T的值，利用周期公式可求的值由题意可求是奇函数，则，结合，可求，进而可求函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围，即可得解本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题17. 解：，设T为的最小值周期，由图象
11、上相邻最高点与最低点的距离为，得，整理可得，又，由可得，是奇函数，则，又，令，则，单调递减区间是，又，当时，递减区间为；当时，递减区间为，函数在上的单调递减区间是17. 由条件利用正弦定理可得，化简可得可得，且，求得，故为直角三角形以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为，设P坐标为，化简要求的式子为，根据，求得要求式子的值本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题18. 解：中，由，利用正弦定理得，又，故由、为不共线向量，可得，且，所以，从而，故为直角三角形以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为，设P坐标为，则 ，因为，所以，18. 如果“”为真，“”为
12、假，则p与q一真一假，进而可得m的取值范围本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档19. 解：若p为真：对恒成立，设，配方得，在上的最小值为，解得，为真时，；若q为真：成立，成立，设，易知在上是增函数，的最大值为，“”为真，“”为假，与q一真一假，当p真q假时，当p假q真时，综上所述，m的取值范围为或19. 由已知，得，利用累加法求通项公式，利用裂项求和法求数列的前n项和本题考查累加法，裂项法在数列计算中的应用，考查计算能力20. 解：当时满足上式， 20. 分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函
13、数；利用基本不等式可得，时取等号，再结合，即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想21. 解：由题意，下潜用时单位时间，用氧量为升，水底作业时的用氧量为升，返回水面用时单位时间，用氧量为升，总用氧量，令得，在时，函数单调递减，在时， 0/，函数单调递增，当时，函数在上递减，在上递增，此时时用氧量最少当时，上递增，此时时，总用氧量最少21. 求出原函数的导函数，设出切点坐标，写出过切点的切线方程，代入点P的坐标求解切点横坐标，代回切线方程得答案本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答的关键在于区分给出的定点
14、是否为切点，是中档题22. 解：由，得，设切点为，则曲线C：过切点的切线方程为代入得，得，解得或曲线C过点处的切线方程为或【解析】12. 解：集合，故选：A根据交集的定义写出本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目23. 解：特称命题的否定是全称命题，：，都有故选：B根据含有量词的命题的否定进行判断即可本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础34. 解：将函数的图象先向左平移个单位，可得的图象，再将各点横坐标变为原来的倍，可得函数的图象，故选：C利用函数的图象变换规律，得出结论本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题45. 解：由，解得函数的定义域为：故选：D直接由根式内部的对数式大于等
15、于0，分式的分母不等于0，列出不等式组，求解即可得答案本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题56. 解：变量满足的平面区域如图：目标函数变形为，当此直线经过图中A时z最小，由得到，所以；故选：A画出平面区域，利用目标函数等于直线在y轴的截距得到最最优解位置，求得z的最小值本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值67. 解：由题意得两地相距150km，某人开汽车以的速度从A地到达B地，可得从A到B须要小时，以的速度返回A地，从B到A需要3小时当时，当时，当时，故故选D由已知中两地相距150km，某人开汽车以的速度从A地到达B地，在B地
16、停留1h后再以的速度返回A地，我们可以分别求出A到B，停留，及B到A时路程表示为时间的函数表达式，综合讨论结果，即可得到函数的解析式本题考查的重点是分段函数的解析式，其中分类讨论每一段上函数的解析式，是解答本题的关键78. 解：令函数，则，或，即函数有两个零点，故排除B；当时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由，可排除D，故选：A求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案本题考查的知识点是函数的图象，函数的极限，超越函数的图象比较难画，排除法是常用的解题方法，难度中档89. 解：设，则，则条件转化为，令，则，易得，利用换元法将函数转化为，求出函数的表达式，即可得到
17、结论本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键910. 解：，三点共线，则故选：D，三点共线，即可求得本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题1011. 解：，可得对任意的x均成立因此不等式，即，等价于恒成立，是R上的单调减函数，所以由得到，即故选：D由函数的解析式，算出对任意的x均成立因此原不等式等价于，再利用导数证出是R上的单调减函数，可得原不等式即，由此即可解出实数a的取值范围本题给出多项式函数，求解关于a的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题1112. 解：故答案为：求出被积函数的原函数
18、，然后分别代入积分上限和下限作差得答案本题考查定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题1213. 解：当时，有不等式可得，得，无解当时，有，解得当时，有，即综上，有故原不等式的解集为，故答案为分、三种情况，分别去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，最后把这三个解集取并集，即得所求本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题1314. 解：，故答案是：利用诱导公式和二倍角公式进行化简求值本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查1415. 解：由题意得在中，由正弦定理得，船的速度为海里小时故答案为
19、：36求出，利用正弦定理得出AB，从而得出船的航行速度本题考查了正弦定理的应用，属于基础题1516. 解：不妨设或，作出的函数图象如图所示：设，由图象可知：当时，方程有3解，当时，方程有2解，函数有三个零点，关于t的方程有且只有一解，是的三个解，不妨设，则，令得故答案为：设，根据的函数图象得出方程的根的个数，从而得出，故而可求出的三个解，得出答案本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查学生分析解决问题的能力，确定只有当时，它有三个根是关键1617. 由已知利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，设T为的最小值周期，由题意得，结合，可求T的值，利用周期公式可求的值由题意可求是奇函数，则
20、，结合，可求，进而可求函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质可求其单调递减区间，结合范围，即可得解本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，余弦函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题1718. 由条件利用正弦定理可得，化简可得可得，且，求得，故为直角三角形以CA所在边为x轴建立直角坐标系，得内切圆方程为，设P坐标为，化简要求的式子为，根据，求得要求式子的值本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题1819. 如果“”为真，“”为假，则p与q一真一假，进而可得m的取值范围本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题
21、，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档1920. 由已知，得，利用累加法求通项公式，利用裂项求和法求数列的前n项和本题考查累加法，裂项法在数列计算中的应用，考查计算能力2021. 分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；利用基本不等式可得，时取等号，再结合，即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想2122. 求出原函数的导函数，设出切点坐标，写出过切点的切线方程，代入点P的坐标求解切点横坐标，代回切线方程得答案本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答的关键在于区分给出的定点是否为切点，是中档题
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