1、第9练顾全局函数零点与方程的根题型分析高考展望函数零点问题是高考常考题型，一般以填空题的形式考查，难度为中档其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围体验高考1(2015天津改编)已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为_答案2解析当x2时，g(x)x1，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)3x，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，其根为x或x(舍去)；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，其根为x
2、或x(舍去)所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.2(2016上海改编)设aR，b0,2若对任意实数x都有sin(3x)sin(axb)，则满足条件的有序实数对(a，b)的对数为_答案2解析对于任意实数x都有sin(3x)sin(axb)，则函数的周期相同，若a3，此时sin(3x)sin(3xb)，则b2；若a3，则方程等价为sin(3x)sin(3xb)sin(3xb)sin(3xb)，则b，b.综上，满足条件的有序实数对(a，b)为，共有2对3(2015江苏)已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_答案4解析令h(x)f(x)g(x)，则h(x
3、)当1x2时，h(x)2x0，故当1x2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1的图象如图所示由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4.高考必会题型题型一零点个数与零点区间问题例1(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_(2)(2015北京)设函数f(x)若a1，则f(x)的最小值为_；若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_答案(1)2，1,3(2)12，)解析(1)令x0，所以f(x)(x)23xx23x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)x2
4、3x.当x0时，g(x)x24x3，令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3；当x0(舍去)或x2.所以函数g(x)有3个零点，其集合为2，1,3(2)当a1时，f(x)当x1时，f(x)2x1(1,1)，当x1时，f(x)4(x23x2)41，f(x)min1.由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)2xa，x1没有零点时，a2或a0.当a2时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时，有2个零点；当a0时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时，无零点因此a2满足题意当f(x)2xa，x1有1个零点时， 0a2.f(x)4(xa)(x2a)，x1有1个零点，此时a1, 2a1，因
5、此a1.综上知实数a的取值范围是.点评确定函数零点的常用方法(1)当方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解变式训练1(2016东营模拟)x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15.已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是_答案2解析函数h(x)f(x)g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，
6、作出函数f(x)xx与函数g(x)log4(x1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是2.题型二由函数零点求参数范围问题例2若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围解方法一(换元法)设t2x(t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a1；若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)0且0，解得a1.综上，a的取值范围是(，22
7、 方法二(分离变量法)由方程，解得a，设t2x(t0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.点评利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解变式训练2已知函数f(x)若关于x的方程ff(x)0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为_答案(1,0)(0，)解析依题意，得a0，令f(x)0，得lg x0，即x1.由ff(x)0，得f(x)1.当x0时，函数ylg x的图象与直线y1有且只有一个交点，则当x
8、0时，函数y的图象与直线y1没有交点若a0，结论成立；若a0，则函数y的图象与y轴交点的纵坐标a1，得1a0，则实数a的取值范围为(1,0)(0，)高考题型精练1若偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x0,1时，f(x)x2，则关于x的方程f(x)()x在0，上的根的个数是_答案3解析当x1,0时，x0,1，所以f(x)x2，因为f(x)为偶函数，所以f(x)x2.又f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)1)f(x1)1)f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数据此在同一坐标系中作出函数yf(x)与yx在0，上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)x在0，
9、上有3个根2函数f(x)2sin xx1的零点个数为_答案5解析2sin xx10，2sin xx1，图象如图所示，由图象看出y2sin x与yx1有5个交点，f(x)2sin xx1的零点个数为5.3已知函数f(x)则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是_答案(，12，)解析当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；当x0时，xf(x)m，即xm，解得m2.即实数m的取值范围是(，12，)4定义域为R的偶函数f(x)满足对任意xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x2,3时，f(x)2x212x18，若函数yf(x)loga(x1)在(0，)上恰有三个零点，则a的取值范围是_答案解
10、析因为f(x2)f(x)f(1)，所以f(1)f(1)f(1)，又因为f(x)是偶函数，所以f(1)0，所以函数f(x)是以2为周期的偶函数函数yf(x)loga(x1)在(0，)上恰有三个零点可化为函数yf(x)与yloga(x1)在(0，)上有三个不同的交点作函数yf(x)与yloga(x1)的图象如下图结合函数图象知，解得a.5(2016太原模拟)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是_答案(0,1)解析画出函数f(x)的图象如图所示观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有三个不同的交点，此时需满足0a1.
11、6已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是_答案1,0)解析当x0时，f(x)2x1.令f(x)0，解得x；当x0时，f(x)exa，此时函数f(x)exa在(，0上有且仅有一个零点，等价转化为方程exa在(，0上有且仅有一个实根，而函数yex在(，0上的值域为(0,1，所以0a1，解得1a0.7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析画出f(x)的图象，如图，由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0,1)8已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k有两个不同的零点，则实数k的取值范围
12、是_答案解析画出函数f(x)的图象如图要使函数g(x)f(x)k有两个不同零点，只需yf(x)与yk的图象有两个不同交点，由图易知k.9(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点10已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是_答案解析当0x1时，f(x)aa，当1x2时，f(x)aa，当2x3时，f(x)aa，.f(
13、x)a的图象是把y的图象进行纵向平移而得到的，画出y的图象，通过数形结合可知a.当x0时，同理可得a.综上，a.11设函数f(x)(x0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1)上是减函数，而在(1，)上是增函数由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根12已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在2
14、,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为R，f(x)exa，由函数f(x)在x0处取得极值，则f(0)1a0，解得a1，即有f(x)exx1，f(x)ex1.当x0时，有f(x)0，f(x)单调递减，当x0时，有f(x)0，f(x)单调递增则在x0处f(x)取得极小值，也为最小值，值为2.又f(2)e23，f(1)e，f(2)f(1)，即有最大值e23.(2)函数f(x)不存在零点，即为exaxa0无实数解当x1时，e00显然不成立，即有aR且a0.若x1，即有a.令g(x)，则g(x)，当x2时，g(x)0，g(x)单调递增，当x1或1x2时，g(x)0，g(x)单调递减即在x2处g(x)取得极小值e2，当x1时，g(x)0，则有0ae2，解得e2a0，则实数a的取值范围为(e2,0)