1、高二数学同步辅导教材（第31讲）主讲: 孙福明(江苏省常州高级中学 一级教师)一、本讲进度 第九章 直线、平面、简单几何体 9.9 研究性课题；多面体欧拉定理的发现9.10 球二、主要内容球的概念、性质及体积与表面积的计算。三、学习指导1、球的定义可以从两个角度来理解，从静止的角度看，球面可以看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合；从运动的角度看，半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面与球是两个不同的概念，球面是球体的表面，其大小用面积来度量；球是球面围成的几何体，其大小用体积来度量。球的相关概念：（1）球心；（2）半径；（3）直径。见课本P.652、球的性质：（
2、1） 定义，例如球面上任一点到球心的距离都相等，长度等于半径；（2） 截面的性质： 用平面去截球，截面是圆面； 球心和截面的圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有下面勾股定理关系：r2+d2=R2，如图； 当截面过球心时，截面是大圆，当截面不过球心时，截面是小圆。研究球的截面性质，通常类比于平面几何中直线与圆相交时的性质。这种类比的降维思想是学习立体几何的重要方法。3、关于地球，应用球的数字知识研究地球，得到下列概念：（1） 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；经度：经线与地轴（南北两极连线）构成的半平面与00经线（本初子午线）及地轴构成的平面所形成的二面角的大小
3、。如果设这两个半平面与赤道平面的交线为OA、OB，则AOB=0，如图；（2） 纬线：球面上，平行于赤道平面的小圆； 纬度：纬线上任一点的半径与赤道平面所成的线面角。如果设小圆圆心为O，则OPO=0，如图； （3）球面的距离：球面上某两点之间的球面距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度。其特征是球面上这两点连线的最小长度。注意，这是曲线的长度，而不是直线段的长度。计算公式：l=R，其中为球面上两点对球心张角的弧度数。4、球的体积公式：，球的表面积公式：S=4R2，其中R为球的半径。这两个公式的推导思想是近代数字的重要思想，简单地说就是“以曲代直”的思想，其步骤为：分割求和求极限。5、在研
4、究球与其它几何体构成的组合体时，应紧抓球心的位置特征及球半径的大小这两个基本元素，通常作出过球心的截面，将问题转化为平几问题。四、典型例题例1、 四棱锥ABCDE中，AD平面BCDE，ACBC，AEBE， （1）求证A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上； （2）若CBE=900，CE=，AD=1，求B、D两点的球面距离。解题思路分析： （1）设AB中点为O，则只需证明OA=OB=OC=OD=OE，其途径通常有全等三角形或等量代换。本题用等量代换。设AB中点为O，则OA=OB=AB AD平面BCDE ADDB DO=AB ACBC，AEEB EO=CO=AB OA=OB=OC=OD
5、=OE=AB即A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上 （2）根据球面距离的定义，只需求出球的半径R及BOD的大小即可。下从分析图形ABCDE的性质着手。 AD平面BCDE DE、DC分别为AE、AC在平面BCDE上的射影 BEEA，BCCA BEED，BCCD又CBE=900 BCDE为矩形 BD=EC= AB=2 球半径R=1 BOD中，BO=OD=1，BD= cosBOD= BOD= B、D两点球面距离 例2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比及体积之比。解题思路分析：因球的表面积及体
6、积与球的半径有关，故求出三个球的半径之间关系即可。将正方体的棱长作为基本元素，以此找出三个半径的关系式。设正方体棱长为a，三个球的依次为R1、R2、R3，分别作出过球的球心的截面，得如图所示三种组合体的截面图。 2R1=a，R1= a=2R2，R2=a a=2R3,R3=a R1R2R3=1 S1S2S3=R12R22R32=123 V1V2V3=R13R23R33=1评注：本题通过作截面图，将立体几何问题转化为平面几何问题，是立体几何的重要思想方法之一。对于这类组合体，通常作出过球心的截面，然后紧抓球心及半径两个要素，找位置关系或数量关系。例3、A、B、C为半径为1的球面上的三点，B、C两点
7、的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，设球心为O，求：（1）BOC、AOB的大小；（2）球心到截面ABC的距离。解题思路分析：从转化球面距离着手（1） 由球面距离定义可知，BOC=，AOB=AOC=；（2） 法一：利用截面性质，求出ABC的外接圆半径r即可 BC=1，AC=AB= cosBAC= sinBAC=设ABC外接圆半径为r，则由正弦定理 2r= r= 球心到截面ABC的距离为法二：一般说，立体几何的解题习惯是将点、线、面置于某一几何体中，充分利用几何体的有关性质解决这些点、线、面的问题。因此本题可考虑O、A、B、C四点构成的四面体 OAOB，OAOC OA平面OBC，如图为
8、了确定O在平面ABC上的射影，应先找到平面ABC的垂面（辅助平面）取BC中点M，则OMBC BC平面OAM 平面OAM平面ABC在OAM内作OHAM，H为垂足，则OH平面ABC OH长度就是点O到平面ABC的距离 OA=1，OM= AM=由OAOM=AMOH得：OH=法三：在法二图形的基础上，也可用等积法求点O到平面ABC的距离设O到平面ABC的距离为x，则 又 求得：SABC、SOBC、OA后代入上式，求得x=这种方法的优越性在于不需要作出O在平面ABC上的射影例4、三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC=900，求这个三棱锥外接球球心的位置。解题思路分析：为了确定球心（点）的位置，可将它
9、转化为某两条直线的公共点。那么球心在哪条直线上呢？根据球的截面小圆的性质，球心在过截面圆的圆心且与截面圆垂直的直线上。如图： ABC=900 ABC的外接圆圆心为AC中点O1，在PAC内作O1MPA，则O1M平面ABC 球心O在直线O1M上 PA平面ABC PABC又BCBA CB平面PAB PAB=900 PAB的外接圆圆心为PB中点O2，在PBC内作O2NCB，则O2N平面PAB 球心O在直线O2N上 O1M、O2N均与直线PC相交且交点O为PC中点 O1MO2M=0 O为三棱锥PABC外接球的球心例5、已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，且相距为1，求球的体积。解题思路分析：利用解方
10、程思想与球的半径R这里还需要对两截面是在球心O的同侧还是异侧进行讨论当两截面在球心O的同侧时，作出截面大圆，如图则解之得R=3当两截面在球心O的两侧时则，无解 同步练习 （一）选择题1、 棱长为a的正方体外接球的表面积是A、a2 B、2a2 C、3a2 D、4a22、A、B为球面上相异两点，则过A、B可作大圆个数A、0个 B、只有一个 C、无穷多个 D、以上都不对3、若球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的体积比原来增加A、2倍 B、4倍 C、倍 D、倍4、两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为A、23 B、49 C、 D、5、表面积为Q的多面体的每一个面都外切于半径为3的一个球，
11、则这个多面体体积为A、Q B、3Q C、Q D、无法求解 （二）填空题6、如果球的半径扩大为原来的n倍，则球的大圆周长扩大为原来的_倍，球的表面积扩大为原来的_倍，球的体积扩大为原来的_倍。7、过球面上不经过球心的两点所作截面圆中，面积最大的圆是_，面积最小的圆是_。8、长方体共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球的表面积为_。9、设地球半径为R，在北纬600的圈上有甲、乙两地，它们纬度圈上的弧长等于，那么甲、乙两地球面距离为_。10、由半径为R的球面上一点P作球的两两互相垂直的三条弦PA、PB、PC，则PA2+PB2+PC2=_。 （三）解答题11、设地球半径为R，A地在东经300的赤道上
12、，B地在北纬450，东经1200处，求A、B两地球面的距离。12、正三棱锥高为1，底面边长为，内有一个球与四个面都相切，如图（1） 求棱锥的全面积；（2） 求球的半径。13、正三棱锥内接于半径为R的球，如果它的高与侧棱所成的角等于，求棱锥体积。14、已知AB为球O的直径，C、D是球面上两点，D又在以BC为直径的小圆上，设此小圆所在平面为（1） 求证：平面ABC； （2）设AB与所成角为，过球半径OD且垂直于的截面截BC弦于E，求OED与经过O、D的截面面积之比，并求为何值时，这面积之比最大。参考答案（一） 选择题1、 C。 2、D。 当AB不过球O时，过A、B、O的大圆有且只有一个；当AB过球
13、心O时，过直径AB可作无数个大圆。3、D。设前后两球半径分别为R、R，则，扩大后球体积，4、B。 两个半径之比为235、A。 以球心为顶点，多面体的每一个面为底面将原多面体分割为若干个棱锥，则棱锥的体积之和为原多面体的体积： （二）填空题6、n，n2，n3。7、大圆，以两点所连直线段为直径的圆。因为两点之间线段最短，当直径最小时，面积最小。8、 9 。设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则不妨取，外接圆直径，9、。纬度圆的半径为Rcos600=，甲、乙两地在纬度圆上的圆心角为，即甲、乙两地为直径，甲、乙两地直线距离为R，甲、乙对球心张角为，球面距离为10、 4R2 。以PA、P、PC为棱构造长
14、方体，该长方体内接于球，其对角线长为直径，PA2+PB2+PC2=(2R)2=4R2 （三）解答题11、如图，设球心为O，北纬450的圆的圆心为O，OB=Rcos450=R，OO=R 二面角BOOA大小为1200-300=900 AB= OA=OB=R AOB= A、B两点球面距离为12、过PA、PO作球O及正三棱锥PABC的截面，如图，PO为棱锥的高，PO=1，PD为正三棱锥的斜高，E为球O与正三棱锥PBC的切点 OD= S侧= S全=S底+S侧= （S全为P-ABC表面积） 或由PEOPOD求R13、设棱锥高为SO，OSO，过SA与SO确定的平面作球及正三棱锥的截面，如图延长SO交大圆于E，连AE则ASE=，SE=RRtSAE中，SA=SEcos=2Rcos SO=SAsinSAD=SAsin(900-)=2Rcos2 AO=SAcosSAD=SAcos(900-)=2Rcossin=Rsin2 O为ABC外接圆圆心 AB=AO AB=AO=Rsin2 14、（1）设BC中点为O，则OO平面又OO平面ABC 平面ABC （2） OEAC AC平面 ABC为AB与平面所成的角，ABC=易证点E即为O OE=OBsin=Rsin，ED=cos sinRcos=sincos=sin2过O、D的截面为大圆，S=R2 SOEDS过OD大圆= 当时，面积比最大为
