1、3二倍角的三角函数(一)二倍角公式及其变形sincos+cossin2sincoscoscos-sinsin2cos2-11-2sin21判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin 2=2sin.()(2)cos 2=sin2-cos2.()(3)tan 2=对任意的都成立.()(4)sin2=()【解析】(1)错误.因为sin 2=2sin cos.(2)错误.因为cos 2=cos2-sin2.(3)错误.因为 (kZ)时公式不成立.(4)错误.因为sin2=答案：(1)(2)(3)(4)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)sin 15cos 15=_.(2)cos215-s
2、in215=_.(3)=_.【解析】(1)sin 15cos 15=sin 30=答案：(2)cos215-sin215=cos 30=答案：(3)原式=tan 45=.答案：【要点探究】知识点正弦、余弦、正切的二倍角公式1.对二倍角中“倍”的说明(1)“倍”具有广泛的涵义.例如，2是的二倍角，同样地，4是2的二倍角，2n是2n-1的二倍角，是的二倍角，3是的二倍角等.(2)在具体应用中可先对角进行观察，寻求待求的角与已知角之间的差异，再决定用哪种“倍”的关系.2.二倍角的应用(1)直接应用公式进行升幂、配方、开方、求值化简证明等运算.(2)变形应用公式主要体现在化异角为同角、化异次为同次、逆
3、用公式等方面，其中二倍角的余弦公式最灵活.如：1+cos 2=2cos2；cos2=1-cos 2=2sin2；sin2=不仅仅是逆用，更重要的是体现了幂指数的变化，其中是从一次幂向二次幂转换，因此把它们称为升幂公式，则是从二次幂向一次幂转换，因此把它们称为降幂公式.【微思考】(1)公式S2，C2，T2的适用范围是否相同？提示：公式S2，C2中角可以是任意角，但公式T2只有当 k及 (kZ)时才成立，否则不成立(2)逆用正弦、余弦、正切的二倍角公式的关键是什么？提示：关键是将待化简的三角函数式化到公式右边所满足的结构，再逆用公式【即时练】求值：(1)=_.(2)12sin2750=_.(3)t
4、an 150+=_.【解析】(1)原式=答案：(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60 .答案：(3)原式=答案：【题型示范】类型一用二倍角公式解决给值求值问题【典例1】(1)(2013新课标全国)已知sin 2=则=()(2)(2013四川高考)设sin 2=-sin，则tan 2的值是_(3)已知0 x，求的值【解题探究】1.题(1)中如何将化简?2.题(2)中求tan 2的关键是什么?3.题(3)中cos 2x，如何用 -x的三角函数值表示?【探究提示】1.利用降幂公式得2.由已知求得tan 后用正切二倍角公式求解.3.cos 2x=【自主解答】(
5、1)选A.因为所以选A.(2)根据题意sin 2=-sin，可得2sin cos=sin，可得cos=，tan=，所以tan 2=答案：(3)因为x 所以又因为所以又cos 2x所以原式【延伸探究】把第(3)题的条件改为x 求sin 4x.【解析】因为所以cos 2x .因为x 所以2x(，2)，所以sin 2x所以sin 4x2sin 2xcos 2x【方法技巧】1.用二倍角公式求解给值求值问题的常用策略(1)当已知和待求式含有三角函数的平方式时，需先降幂，再求解.(2)先探寻到已知和待求式中角的倍、单关系，再正用或逆用二倍角公式求解.(3)当式子中涉及的角较多时，要探寻其间的关系，化异角为
6、同角.2.x与2x的关系当遇到x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式沟通条件与结论,如cos 2x类似这样的变换还有：【变式训练】(2014江苏高考)已知(1)求的值.(2)求的值.【解析】(1)由题意cos=所以=(2)sin 2=2sin cos=cos 2=2cos21=所以=【补偿训练】已知(1)求tan 的值.(2)求的值.【解析】(1)=解得tan=(2)=类型二利用二倍角公式化简与证明【典例2】(1)设k+，kZ，求证：(2)(2014西安高一检测)已知函数f(x)=2asin xcos x-2bsin2x+b(a,b为常数，且a0)的图像过点(0,3)，且函数f(x)的最大值
7、为2.求函数y=f(x)的解析式，并写出其单调递增区间.【解题探究】1.证明三角恒等式应遵循什么样的原则?2.题(2)中如何将f(x)化为一个角的三角函数式.【探究提示】1.应本着“异名化同名，复角化单角”的原则.2.先逆用二倍角及降幂公式，再用辅助角公式.【解析】(1)左边=右边.所以(2)f(x)=asin 2x+bcos 2x,由f(0)=,得b=.又由 =2及a0,解得a=-1.所以函数y=f(x)的解析式是f(x)=-sin 2x+cos 2x=所以f(x)的单调递增区间是 (kZ).【方法技巧】1.化简三角函数式的策略一般地，三角函数式的化简要从减少角的种类，减少函数的种类，改变函
8、数式的运算结构入手，通过切化弦、弦化切、异角化同角、高次降幂、分解因式、逆用公式等手段，使函数式的结构化为最简形式.2.证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤是：先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”、变换式子结构“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.【变式训练】求证：【证明】要证只需证上式：左边=右边.所以原等式成立.【补偿训练】化简：sin3sin 3+cos3cos 3.【解题指
9、南】先利用变形公式sin2=和cos2=降幂，再整合化简，注意公式的逆用和变形用.【解析】原式=sin2sin sin 3+cos2cos cos 3=sin sin 3+cos cos 3=(cos cos 3+sin sin 3)+cos 2(cos 3cos-sin 3sin)=cos(-3)+cos 2cos(3+)=cos 2+cos 2cos 4=cos 2(1+cos 4)=cos 22cos22=cos32.拓展类型利用对偶式化简求值【备选例题】1.计算：cos 72cos 36=_.2.计算：sin 10sin 30sin 50sin 70=_.【解析】1.方法一：cos 7
10、2cos 36=方法二：令x=cos 72cos 36，y=sin 72sin 36，则xy=sin 72cos 72sin 36cos 36=sin 144sin 72,故答案：2.因为sin 10cos 80,sin 50cos 40,sin 70cos 20，所以原式 cos 80cos 40cos 20答案：【方法技巧】1.对偶式的概念在三角学上，如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余的弦值，那么得到的式子叫原式的对偶式.这两个式子互为对偶式.2.对偶式的应用在化简求值或证明一些三角问题时，如果能灵活地运用对偶的数学思想，合理地构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则
11、可以使问题得到巧妙解决.【易错误区】利用二倍角公式及其变形求值过程中忽视角的范围致误【典例】(2014榆林高一检测)已知sin(2-)=sin=则sin=_.【解析】因为所以22,0-,所以2-.由得22-，所以cos(2-)=因为-0，由sin=得cos=所以cos 2=cos(2-)+=cos(2-)cos-sin(2-)sin =由cos 21-2sin2,得sin2又，所以sin=答案：【常见误区】【防范措施】1.审题问题已知条件角度的认识不到位，不能够结合三角函数值的符号，将已知角的范围进一步缩小，在本例中求得sin(2-)=0,可以将2-的角度进行再缩小，得22-就可以轻松求解其余弦.2.技巧问题熟练将所求角与已知角联系，建立关系式是解题的关键.本例在求解过程中要求cos 2，所以需要构造角度，即cos 2=cos(2-)+，这需要结合已知条件进行分析求解.【类题试解】sin+cos=0，则sin 2=_，cos 2=_.【解析】sin +cos =,0，则又sin+cos=两边平方得1+sin 2=,sin 2=因为2 所以cos 2=答案：