1、江苏省2021届四校联合第三次适应性考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1设集合M，N，则MN A1，2 B0，1，2 C D2复数，则A1 B2 C3 D43某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5现从这45名同学中按两项测试分别是否合格分层抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有A1人 B2人 C5人 D6人4如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此
2、时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326，2326北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为A北纬5533 B南纬5533 C北纬55427 D南纬554275已知函数，则的大致图象为 A B C D6已知，则Anmp Bpnm Cmnp Dnpm7已知F1、F2分别是双曲线(a0，b0)的上、下焦点，过点F2的直线与双曲线的上支交于点P，若过原点O作直线PF2的垂线，垂足为M，则双曲线的渐近线方程为A B C
3、D8新型冠状病毒肺炎（COVID19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步胜利面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为p (0p1)该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时A B C D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9在ABC中
4、，则下列结论正确的是A BC D10已知函数(A0，0，)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A函数的图象关于点(，0)对称B函数的图象关于直线对称C函数在，单调递减D该图象向右平移个单位可得的图象11如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列结论正确的是A若MN2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为 B若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线C若D1N与AB所成的角为60，则N的轨迹为双曲线D若MN与平面ABCD所成的角为60，则N的轨迹为椭圆12甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球现从
5、甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n(n)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是A，B数列是等比数列C的数学期望(n)D数列的通项公式为(n)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知点M(1，2)和抛物线C：，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若AMB90，则直线l的方程为 14已知四面体ABCD满足：ABBCCDDAAC1，BD，则四面体ABCD外接球的表面积为 15杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，
6、是一种离散型的数与形的结合如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4：5：6，则这一行是第 行16如图，C60是一种由60个碳原子构成的碳原子簇，其结构是以正五边形和正六边形组成的凸32面体，则C60结构中正六边形个数为 这60个C原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也被称为足球烯根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角(0180)满足，式中，分别为杂化轨道中s，p，d，f轨道所占的百分数已知C60中的杂
7、化轨道为等性杂化轨道，且无d，f轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为sp2.28，它表示参与杂化的s，p轨道数之比为1：2.28，由此可计算得C60中两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值为 （本题第一空2分，第二空3分） 第15题 第16题四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）在B2C，sinAsinBsinC，csinB3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b
8、，c，且b5，8S(ab)2c2， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（本小题满分12分）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型，分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图根据收集到的数据，计算得到如下值：252.8964616842268848.4870308表中；（1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（
9、计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为34时，产卵数y的预报值参考数据：，附：对于一组数据(，)，(，)，(，)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，19（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足(n)，且（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数n的值20（本小题满分12分）如图，四棱锥SABCD中，ABCD，ADAB，SADC，SBAC，CD2ABAD2，SD3，SE2EB（1）证明：SD平面AEC；（2）求点A到平面BEC的距离21（本小题满分12分）已知函数，为的导数（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求a的取值范
10、围22（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)经过点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），ABF2的周长为8折叠后折叠前 （1）求椭圆的标准方程；（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF1F2）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF1F2）互相垂直若，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；是否存在，使得折叠后ABF2的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由江苏省徐州一中 兴化中学 致远中学 南京十三中2021届四校联合第三次适应性考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5
11、分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1设集合M，N，则MN A1，2 B0，1，2 C D答案：B解析：因为M，N0，1，2， 所以MN0，1，2，选B2复数，则A1 B2 C3 D4答案：A解析：，1选A3某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5现从这45名同学中按两项测试分别是否合格分层抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有A1人 B2人 C5人 D6人答案：C解析：首先求出两项都合格的人数为3035(455)25人，故
12、选C4如图，将地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即2326，2326北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬395427，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为A北纬5533 B南纬5533 C北纬55427 D南纬55427答案：B解析：395427455533，故选B5已知函数，则的大致图象为 A B C D答案：C解析：首先判断该函数是偶函数，排除B、D，且，排除A，故选C6已知，则Anmp Bpnm Cm
13、np Dnpm答案：D解析：， 即np，即 ，即mp， 从而npm，故选D7已知F1、F2分别是双曲线(a0，b0)的上、下焦点，过点F2的直线与双曲线的上支交于点P，若过原点O作直线PF2的垂线，垂足为M，则双曲线的渐近线方程为A B C D答案：A解析：可以求得PF24b，PF14b2a， 所以cosF2，故渐近线方程为，选A8新型冠状病毒肺炎（COVID19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步胜利面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测若任一成员出现
14、阳性，则该家庭定义为“感染高危户”设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为p (0p1)该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时A B C D答案：C解析：，当0p时，0，在(0，)单调递增，当p1时，0，在(，1)单调递减，故当时，最大，所以，选C二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9在ABC中，则下列结论正确的是A BC D答案：BCD解析：根据，可知点P是线段BC的中点，故，A错，B正确； ，故C正确； ，故D正确 综上选BCD10已知函数(A0，0
15、，)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 A函数的图象关于点(，0)对称B函数的图象关于直线对称C函数在，单调递减D该图象向右平移个单位可得的图象答案：BD解析：由图可知A2，kZ，当x时，故A错误；当时，故B正确；当x，时，0，故C错误；该图象向右平移个单位，故D正确 综上选BD11如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列结论正确的是 A若MN2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为 B若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线C若D1N与AB所成的角为60，则N的轨迹为双曲线D若MN与平面ABCD所成的
16、角为60，则N的轨迹为椭圆答案：BC解析：若MN2，则MN的中点的轨迹是以为半径的圆，其面积不是 ，故A错误； 若MN与平面ABCD所成的角为60，则N的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，故D错误 综上，本题选BC12甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n(n)次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是A，B数列是等比数列C的数学期望(n)D数列的通项公式为(n)答案：BC解析：， ，故A错误；，2得， 是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ， 由知， ，D错误； X
17、n的概率分布为：Xn012P求得(n)，故C正确 综上，选BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知点M(1，2)和抛物线C：，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若AMB90，则直线l的方程为 答案：yx1解析：根据抛物线中点弦结论可得：2k2，k1，直线l的方程为yx114已知四面体ABCD满足：ABBCCDDAAC1，BD，则四面体ABCD外接球的表面积为 答案：2解析：取BD中点O，可知OAOBOCOD，所以四面体的外接球是以O为球心，为半径的球，故S表4R2215杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数
18、性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4：5：6，则这一行是第 行答案：98解析：4：5：6，解得：r44，n9816如图，C60是一种由60个碳原子构成的碳原子簇，其结构是以正五边形和正六边形组成的凸32面体，则C60结构中正六边形个数为 这60个C原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也被称为足球烯根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角(0180
19、)满足，式中，分别为杂化轨道中s，p，d，f轨道所占的百分数已知C60中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无d，f轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为sp2.28，它表示参与杂化的s，p轨道数之比为1：2.28，由此可计算得C60中两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值为 （本题第一空2分，第二空3分）答案：20，解析：设一个C60中的凸32面体中共有x个五边形，y个六边形， ，故共有20个正六边形， 又因为，所以， ，因为0180，四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）在B2C，sinAsinBsin
20、C，csinB3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b5，8S(ab)2c2， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：选条件，存在这样的三角形，；选条件，存在这样的三角形，；选条件，不存在这样的三角形18（本小题满分12分）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型，分别进行拟合，由此得到
21、相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图根据收集到的数据，计算得到如下值：252.8964616842268848.4870308表中；（1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为34时，产卵数y的预报值参考数据：，附：对于一组数据(，)，(，)，(，)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，解：（1）应该选择模型由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故
22、选模型比较合适（2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则.，所以，则z关于x的线性回归方程为.于是有，所以产卵数y关于温度x的回归方程为 当时，（个）所以，在气温在34时，一个红铃虫的产卵数的预报值为245个19（本小题满分12分）已知数列的前n项和满足(n)，且（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求使成立的最小正整数n的值解：（1）由可得，当时，得，所以当时，所以，整理得，所以为等差数列又，所以，又，所以，所以（2）由（1）可得，所以要使，只需，解得，又，所以n的最小值为820（本小题满分12分）如图，四棱锥SABCD中，ABCD，ADAB，SADC
23、，SBAC，CD2ABAD2，SD3，SE2EB（1）证明：SD平面AEC；（2）求点A到平面BEC的距离解：（1）在四棱锥中，连接交于点，连接，.又，则，又平面，且平面，平面.（2）点到平面的距离即点到平面的距离，设为.由得，又，得平面，则，由得，由（1），得，由得，由（1），得，则，又，得平面，则.，底面，是三棱锥的高.（命题人：江苏省徐州市第一中学 赵嘉钰 江苏省兴化中学 姚楷），则，由，得，解得.21（本小题满分12分）已知函数，为的导数（1）当时，求的最小值；（2）当时，恒成立，求a的取值范围解：（1），令，则.当时，为增函数，；当时，.故时，为增函数，故，即的最小值为1.（2）令，
24、则本题即证当时，恒成立.当时，若，则由（1）可知，所以为增函数，故恒成立，即恒成立；若，则，在上为增函数，又，故存在唯一，使得.当时，为减函数；时，为增函数.又，故存在唯一使得.（命题人：江苏省徐州市第一中学 赵嘉钰 江苏省兴化中学 姚楷）故时，为增函数；时，为减函数.又，所以时，为增函数，故，即恒成立；当时，由（1）可知在上为增函数，且，故存在唯一，使得.则当时，为减函数，所以，此时，与恒成立矛盾.综上所述，a的取值范围为.22（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)经过点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），ABF2的周长为
25、8折叠后折叠前 （1）求椭圆的标准方程；（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF1F2）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF1F2）互相垂直若，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；是否存在，使得折叠后ABF2的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：（1）因为的周长为8，所以.由题意得所以椭圆的方程为.（2）由直线与联立求得，（因为点A在x轴上方）以及再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，.，.记异面直线和所成角为，则；由，故由，故设折叠前，.直线与椭圆联立方程，得，.在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴）；设A，B在新图形中对应点记为，（i）所以（ii）由（i）（ii）可得，（命题人：江苏省徐州市第一中学 赵嘉钰 江苏省兴化中学 姚楷）解得，所以.21
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