1、第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列散点图中,变量x,y不具有相关关系的是()解析:由相关性的定义可知D项错误.答案:D2.下列说法:将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;设有一个回归方程y=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;线性回归方程y=bx+a必过点(x,y);在一个22列联表中,由计算得2=13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是()A.0B.1C.2D.3本题可以参考独立性检验临界值表P(2k0)
2、0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.5357.87910.828解析:将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,每个数与平均数的差值不变,因而方差恒不变,故正确;根据回归方程可知当x增加一个单位时,y平均减少5个单位,故错误;线性回归方程必过样本中心(x,y),故正确;因为2=13.079,所以两个变量间有关系的犯错的概率不超过0.01,所以有99%的把握确认这两个变量间有关系,故正确.因此错误的只有.答案:B3.工人月工资y(单位:元)与劳动生产率x(单位:千
3、元)变化的线性回归方程为y=90x+60,下列说法中正确的是()A.劳动生产率每提高1 000元,月工资提高150元左右B.劳动生产率每提高1 000元,月工资提高90元左右C.劳动生产率为1 000元时,月工资提高90元D.以上说法都不正确解析:由线性回归方程得到的预报值并不一定是预报变量的精确值,而是预报变量可能取值的平均值,因此当劳动生产率每提高1 000元,月工资提高90元左右.答案:B4.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.收集到的数据如下表,由最小二乘法求得回归直线方程y=0.67x+54.9.零件数x/个1020304050加工时间y/min
4、62758189表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为()A.66B.67C.68D.69解析:设遮住部分的数据为m,x=10+20+30+40+505=30,由y=0.67x+54.9恒过(x,y),得y=0.6730+54.9=75,所以62+m+75+81+895=75,故m=68.答案:C5.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是()A.y=2x-2B.y=12xC.y=log2xD.y=12(x2-1)答案:D6.分类变量X和Y的列联表如下,
5、则()y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+dA.ad-bc越小,说明X与Y的关系越弱B.ad-bc越大,说明X与Y的关系越强C.(ad-bc)2越大,说明X与Y的关系越强D.(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y的关系越强解析:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d),若(ad-bc)2越大,则2越大,说明X与Y的关系越强.答案:C7.某科研机构为了研究中年人秃发与患心脏病是否有关,随机调查了一些中年人的情况,具体数据如表,根据表中数据则可判定秃发与患心脏病有关,那么这种判定出错的可能性为()患心脏病情况秃发情况患
6、心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450A.0.1B.0.05C.0.01D.0.99解析:2=775(20450-5300)22575032045515.9686.635,有99%以上的把握认为秃发与患心脏病有关.故出错的可能性为1%=0.01.答案:C8.在研究色盲与性别的关系调查中,调查了男性50人,其中有20人患色盲,调查的60个女性中15人患色盲,则变量2的值约为()A.1.60B.2.83C.2.712D.6.004解析:根据题目所给出的数据可得,2=110(1530-2045)2605035752.83.答案:B9.设(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)是变量x和y的
7、n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的回归直线,如图所示.以下结论中正确的是()A.x和y的相关系数为直线l的斜率B.x和y的相关系数在0到1之间C.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同D.直线l过点(x,y)解析:A项,x和y的相关系数为散点图中的点与回归直线总体的接近程度,故A项错误;B项,x和y的相关系数r-1,1,r=1时,表示完全正相关,r=-1时,表示完全负相关,故B项错误;C项,分布在l两侧的样本点的个数与n无关,故C项错误;D项,因为a=y-bx,所以直线l过点(x,y),故D项正确.综上,选D项.答案:D10.根据如下样本数据:x345678y4.0
8、2.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为y=bx+a,则()A.a0,b0B.a0,b0C.a0D.a0,b0解析:由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的.故b0.故选B.答案:B11.已知x与y之间的几组数据如下表:x1245y0235假设根据上表数据所得线性回归直线方程y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2),求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是()A.bb,aaB.bb,ab,aaD.ba解析:因为x=1+2+4+54=3,y=0+2+3+54=52, 所以b=(1-3)0-52+(2-3)2-52+(4-3)3-52+(5-3)
9、5-52(1-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(5-3)2=1.1,a=2.5-1.13=-0.8,y=1.1x-0.8,而b=2,a=-2,所以ba.答案:D12.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下:x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a,则点(a,b)与直线x+18y=100的位置关系是()A.点在直线左侧B.点在直线右侧C.点在直线上D.无法确定解析:由y=bx+a,得y=bx+a.又因为a=y-bx,所以y=bx+y-bx
10、=y,故回归直线过点(x,y),而样本数据的中心为(18,110),在直线y=bx+a上,则a+18b=110100,所以点(a,b)在直线右侧.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.由数据(1,2),(3,4),(2,2),(4,4),(5,6),(3,3.6)得出的线性回归方程y=a+bx必经过的定点是以上点中的.解析:易知,线性回归方程y=a+bx必经过定点(x,y),而根据计算可知这几个点中满足条件的是(3,3.6).答案:(3,3.6)14.为了判断学生选修文科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得到如下22列联表:理科文科男131
11、0女720已知P(23.841)0.05,P(25.024)0.025.根据表中数据,得到2=50(1320-107)2232720304.844,则认为选修文科与性别有关联的把握度是.解析:24.8443.841,至少有95%的把握认为是否选修文科与性别有关.答案:95%15.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录进行了比较,提出假设:这种血清不能起到预防感冒的作用,利用22列联表计算得23.918,经查临界值表,知P(23.841)0.05,则下列结论中,正确结论的序号有.在犯错误的概率不超过5%的前提下认为这种血清能
12、起到预防感冒的作用;若某人未使用该血清,则他在一年中有95%的可能性得感冒;这种血清预防感冒的有效率为95%;这种血清预防感冒的有效率为5%.解析:由题意,因为3.918,P(23.841)0.05,所以只有正确,即有95%以上的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用.答案:16.某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x(万元)与公司所获得利润y(万元)的统计资料如下表:序号科研费用支出xi利润yixiyixi21531155252114044012134301201645341702553257596220404合计301801 000200则利润y对科研费用支出x的线性回归方程为.解析
13、:设回归直线方程为y=a+bx.b=1 000-6530200-652=2,a=y-bx=30-25=20.故回归直线方程为y=2x+20.答案:y=2x+20三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)为了调查某大学学生在某天上网的时间,随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查,得到的统计结果如下:男生上网时间与频数分布表上网时间/分30,40)40,50)50,60)60,70)70,80人数525302515女生上网时间与频数分布表上网时间/分30,40)40,50)50,60)60,70)70,80人数102040201
14、0(1)若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数;(2)完成下面的22列联表,并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟总计男生女生总计附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d为样本容量.P(2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解:(1)设估计上网时间不少于60分钟的人数为x,依据题意有x750=30
15、100,解得x=225.所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225.(2)根据题目所给数据得到如下列联表:上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟总计男生6040100女生7030100总计13070200其中,2=200(6030-4070)210010013070=200912.1986.635,所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.19.(12分)对某小学的小学生进行心理障碍测试得到如下列联表:焦虑说谎懒惰总计女生5101530男生20105080总计252065110试说明这三种心理障碍中哪一种最有可能与性别有关系.解:对于焦虑、说谎、懒惰分别构造三个随机变量12,
16、22,32,由表中数据可得,12=110(560-2520)2308025850.8633.841;32=110(1530-1550)2308065451.410r0.05,所以y与x有线性相关关系.(2)由(1),得b=i=14xiyi-4xyi=14xi2-4x2=438-412.5660-625=25.5350.728 6,a=y-bx=8.25-0.728 612.5=-0.857 5.故y=0.728 6x-0.857 5.(3)要使y10,即0.728 6x-0.857 510,所以x14.901 9.所以机器的转速应控制在14.901 9转/秒以下.21.(12分)下表是某年美国
17、旧轿车价格的调查资料:使用年数x12345678910平均价格y/美元2 6511 9431 4941 087765538484290226204试建立y与x之间的回归方程.解:作出散点图如图所示.可以发现,各点并不是基本处于一条直线附近,因此,y与x之间应是非线性相关关系,与已学函数图像比较,用y=ebx+a来刻画题中模型更为合理,令z=ln y,则z=bx+a,题中数据变成如下表所示:x12345z7.8837.5727.3096.9916.640x678910z6.2886.1825.6705.4215.318相应的散点图如图所示,从图中可以看出,变换的样本点分布在一条直线附近,因此可用
18、线性回归方程拟合.由表中数据可得r-0.996,故认为x与z之间具有线性相关关系,由表中数据,得b-0.298,a8.165,所以z=-0.298x+8.165,最后回代z=ln y,y=e-0.298x+8.165即为所求.22.(12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:50,60),60,70), 70,80),80,9
19、0),90,100分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.25周岁以上组25周岁以下组(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解:(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.所以,样本中
20、日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有600.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有400.05=2(人),记为B1,B2.从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3), (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).其中,至少有一名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率P=710.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手600.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产能手400.375=15(人),据此可得22列联表如下:生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以,得2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(1525-1545)260403070=25141.79.因为1.792.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.16
